5. Задано вписаний чотирикутник ABCD. Нехай Н- проекція точки А на ВC, a E- точка, симетрична точці А відносно ВС. Точку N обрано на стороні CD, а точку L на описаному колі трикутника АВН таким чином, що HL || EN. Доведіть, що пряма BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN. Допоможіть я вас благаю!!! ДАЮ 50 БАЛОВ
Answers & Comments
1. Оскільки точка E - симетрична відносно сторони BC до точки A, то лінія BC є середньою перпендикулярною відрізку AE. Тобто, лінія BC проходить через середину відрізка AE, і ми позначимо цю середину як M.
2. Також, оскільки N обрана на стороні CD, лінія MN є середньою відрізка CD, і ми позначимо цю середину як K.
3. З умови задачі HL || EN, ми знаємо, що HL і EN паралельні. Отже, лінія HL проходить через середину відрізка EN, і ми позначимо цю середину як X.
4. Тепер ми маємо точки M, K і X, які є серединами відповідних відрізків AE, CD і EN.
5. Оскільки M - середина відрізка AE, то AM = ME. Оскільки K - середина відрізка CD, то CN = ND.
6. З попереднього кроку ми отримали AM = ME і CN = ND. З ознаки серединних перпендикулярів в прямокутнику AMEN, ми знаємо, що AE || MN і CD || MN.
7. Тепер розглянемо трикутник ADN. Оскільки AE || MN і CN || MN, ми можемо використовувати теорему про паралельні відрізки у трикутнику. З цієї теореми випливає, що BL || MN.
8. Отже, ми побачили, що пряма BL проходить через точку, яка лежить на лінії, яка є серединою відрізка DN, а це означає, що пряма BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN.
Отже, пряма BL дійсно проходить через центр описаного кола трикутника ADN.