Для доказательства того, что выражение 17^2+14•11^n-3•5^n+1 кратно 6 при любом натуральном значении n, нужно показать, что оно делится на 2 и на 3.

Для начала заметим, что 17^2 равно 289, что кратно 3, так как 289 = 3*96+1.

Теперь рассмотрим остальные слагаемые. Заметим, что 14•11^n-3•5^n+1 можно записать в виде (14•11^n+1) - (3•5^n-1). Покажем, что оба выражения в скобках кратны 3 и 2 соответственно.

Для этого заметим, что 14•11^n+1 = 13•11^n+11^n+1. Первое слагаемое кратно 3, так как 13 = 3*4+1, а 11^n+1 делится на 2 при любом нечётном значении n (что можно проверить, разложив 11^n+1 на множители по формуле a^2-b^2 = (a+b)(a-b)). Таким образом, 14•11^n+1 кратно 6.

Аналогично, 3•5^n-1 = 3•(5^n-1) + 2. Первое слагаемое кратно 3, так как 5^n-1 делится на 4 при любом нечётном значении n (что можно проверить, разложив 5^n-1 на множители по формуле a^2-b^2 = (a+b)(a-b)). Второе слагаемое равно 2 при n=1 и равно 1 при n>1, то есть оно чётное. Таким образом, 3•5^n-1 кратно 6.

Итак, выражение 17^2+14•11^n-3•5^n+1 можно записать в виде кратной 3 суммы 289 + (14•11^n+1) - (3•5^n-1). Первое слагаемое кратно 3, а скобки второго и третьего слагаемых кратны 2 и 3 соответственно, поэтому всё выражение кратно 6, что и требовалось доказать.