Так как окружность касается сторон ∆, то это вписанная окружность в ∆ (по определению).
Соединим точки А и О ; В и О отрезками и рассмотрим получившиеся ∆АОВ.
АО — биссектриса ∡ВАС, ВО — биссектриса ∡АВС, так как О — центр вписанной в правильный ∆ окружности, а по совместительству это ещё и инцентр (точка пересечения биссектрис).
Тогда ∡ВАО = ∡АВО = 60° : 2 = 30°, так как углы правильного ∆ равны между собой и равны по 60°.
Answers & Comments
Дано:
∆АВС — равносторонний.
О — центр окружности.
Найти:
∡АОВ = ?
Решение:
Так как окружность касается сторон ∆, то это вписанная окружность в ∆ (по определению).
Соединим точки А и О ; В и О отрезками и рассмотрим получившиеся ∆АОВ.
АО — биссектриса ∡ВАС, ВО — биссектриса ∡АВС, так как О — центр вписанной в правильный ∆ окружности, а по совместительству это ещё и инцентр (точка пересечения биссектрис).
Тогда ∡ВАО = ∡АВО = 60° : 2 = 30°, так как углы правильного ∆ равны между собой и равны по 60°.
По теореме о сумме внутренних углов ∆ :
∡АОВ + ∡ВАО + ∡АВО = 180°
∡АОВ = 180° - ∡ВАО - ∡АВО = 180° - 30° - 30° = 120°.
Ответ : 120°.