Ответ:

[tex]a = - \frac {21}{8} [/tex]

Объяснение:

Итак, что по поводу функции

[tex]f(x) = {2}^{ \sin^{2} (2\pi x + \frac{5\pi}{4} ) } [/tex]

Область значений синуса [-1;1], но из-за квадрата степень может принимать значения на отрезке [0;1]

Функция f(x) принимает значения на отрезке [1;2]

Далее про функцию

[tex]g(x) = \frac{4}{ {t}^{2} - 6t + 13} [/tex]

Где t=x-a

Поработаем с t²-6t+13: Дискриминант отрицателен(D=36-39=-3), то есть, функция всегда положительная. Вершина параболы: y(x0)=y(3)=9-18+13=4. Всё остальное даёт значения больше, то есть g(x) не больше 1

Итак, теперь становится всё максимально ясно. Какие значения может принимать f(x)? от 1 до 2. Какие значения может принимать g(x)? от 0 до 1

Где может быть пересечение? Только в единице

То есть, у нас два условия:

[tex]{2}^{ \sin^{2} (2\pi x + \frac{5\pi}{4} ) } = 1 \\ \frac{4}{ {t}^{2} - 6t + 13} = 1[/tex]

[tex]{ \sin^{2} (2\pi x + \frac{5\pi}{4} ) } = 0 \\ x - a = 3[/tex]

[tex]x = \frac{3}{8} + \frac{k}{2} \\ x - a = 3[/tex]

k∈Z

Теперь осталось дело за малым: назвать минимальное значение параметра. Мы уже знаем множество иксов, которые могут быть решением, причём x≥3/8(если k<0 то корень уже отрицательный, а он нас не интересует в данной задаче), в общем говоря, у нас уже нашёлся x и ему соответствует такой "а", что

a=x-3, далее очевидно, что минимальный "а" будет при минимальном x(при k=0)

[tex]a = \frac{3}{8} - 3 = \frac{3 - 24}{8} = - \frac {21}{8} [/tex]