Ответ:

Ця задача на диференційні рівняння та градієнт.

1. Для обчислення похідної функції в точці М за напрямом вектора MM, спочатку потрібно знайти градієнт функції в точці М. Градієнт функції визначається як вектор, чиї складові є часткові похідні функції по кожній змінній.

grad u(M) = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (7/(1+x^2+y^2), -2y/(1+x^2+y^2), 4/(1+x^2+y^2))

2. Напрям вектора MM можна представити як вектор, який починається в точці M і закінчується в точці M', де M' = M + MM. Тоді напрям вектора MM можна записати як (5-1, -4-1, 8-0) = (4, -5, 8). Щоб обчислити похідну функції за напрямом вектора MM, потрібно обчислити скалярний добуток градієнту та нормованого вектора напряму.

∂u/∂MM = |grad u(M)| * cos(θ) = (grad u(M) • MM / |MM|) = ((4*7 - 5*2y + 8*4) / sqrt(4^2 + (-5)^2 + 8^2)) / sqrt(7^2 + (-2y)^2 + 4^2)

Отже, похідна функції в точці М за напрямом вектора MM дорівнює ∂u/∂MM = (25+28y)/sqrt(105+4y^2).

3. Щоб скласти рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні S у точці М, спочатку потрібно знайти часткові похідні функції по x, y та z.

∂S/∂x = 1, ∂S/∂y = 1-4y, ∂S/∂z = -1.

Після цього потрібно обчислити нормаль до поверхні S у точці М, яка є вектором, складові якого є часткові похідні функції по x, y та z.

n = (∂S/∂x, ∂S/∂y, ∂S/∂z) = (1, 1-4y, -1)

Тепер можна скласти рівняння дотичної площини. Рівняння дотичної площини в точці М має вигляд

(x - xo) * ∂S/∂x + (y - yo) * ∂S/∂y + (z - zo) * ∂S/∂z = 0,

де (xo, yo, zo) = (1, 1, 0) - координати точки М. Підставивши значення часткових похідних, отримаємо рівняння дотичної площини:

x + y - 4y^2 - z = 1.

Рівняння нормалі до поверхні S у точці М має вигляд

n • (r - r0) = 0,

де r = (x, y, z) - координати точки на поверхні S, а r0 = (1, 1, 0) - координати точки М. Підставивши значення n, отримаємо рівняння нормалі:

x + (1-4y) * y - z = 2.