Ответ:

3,5√2

Пошаговое объяснение:

Дано: 5sin(π - α) - 2cos(π + α), [tex]\alpha = \frac{\pi }{4}[/tex]

Преобразуем выражение:

5sin(π - α) = 5sinα

2cos(π + α) = -2cosα

5sin(π - α) - 2cos(π + α) = 5sinα - (-2cosα) = 5sinα + 2cosα.

Почему так?

Мы знаем формулу вычитания аргументов sin(α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ.

В нашем случае:

sin(π - α) = sinπ · cosα - cosπ · sinα.

Так как sinπ = 0, а cosπ = -1, получается:

0 · cosα - (-1) · sinα = 0 + sinα = sinα.

То есть sin(π - α) = sinα.

Поэтому 5sin(π - α) = 5sinα.

Похожая ситуация с cos(π + α):

Мы знаем формулу сложения аргументов cos(α + β) = cosα ⋅ cos β − sinα ⋅ sinβ.

В нашем случае:

cos(π + α) = cosπ · cosα - sinπ · sinα.

Так как cosπ = -1, а sinπ = 0, получается:

-1 · cosα - 0 · sinα = -cosα - 0 = -cosα.

То есть cos(π + α) = -cosα.

Поэтому 2cos(π + α) = -2cosα.

Вернемся к сути задачи:

Как мы уже выяснили в самом начале, 5sin(π - α) - 2cos(π + α) = 5sinα - (-2cosα) = 5sinα + 2cosα.

Теперь подставим значение α и решим:

[tex]5 sin \frac{\pi }{4} + 2cos\frac{\pi }{4} = 5 \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} = \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot (5 + 2) = \frac{7\sqrt{2} }{2} = 3,5\sqrt{2}[/tex]