Дано:

AC = 10;   AK:KB = 3:2;   BL:LC = 2:5;    KZ ║BC;    LH ║AB

Найти:

AH, HZ, ZC

Решение:

В этой задаче нам поможет теорема Фалеса, которая гласит, что параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Теорема Фалеса для отрезка KZ:

KZ делит стороны AB и AC (эти две стороны являются секущими для двух параллельных отрезков KZ и BC) в равных отношениях, а именно:

[tex]\frac{AK}{AZ} = \frac{3x}{3x}[/tex] и [tex]\frac{KB}{ZC} = \frac{2x}{2x}[/tex]. Таким образом AC = AZ + ZC = 3x + 2x = 5x

По условию AC = 10, тогда:

10 = 5x ⇒ x = 2. Теперь найдём AZ и ZC:

AZ = 3x = 3 * 2 = 6;   ZC = 2x = 2*2 = 4.

Теперь воспользуемся теоремой Фалеса для отрезка LH:

[tex]\frac{BL}{AH} =\frac{2y}{2y}[/tex] и [tex]\frac{LC}{HC} = \frac{5y}{5y}[/tex]. Таким образом AC = AH +HC = 2y + 5y = 7y. Зная, что AC = 10, найдём y:

10 = 7y ⇒ y = [tex]\frac{10}{7}[/tex]. Теперь найдём AH и HC:

AH = 2y = 2 * [tex]\frac{10}{7}[/tex] = [tex]\frac{20}{7}[/tex];    HC = 5y = 5 * [tex]\frac{10}{7}[/tex] = [tex]\frac{50}{7}[/tex].

Заметим, что HC = HZ + ZC.   ZC = 4,  HC = [tex]\frac{50}{7}[/tex],  отсюда найдём HZ:

HZ = HC - ZC = [tex]\frac{50}{7} - 4 = \frac{50}{7} - \frac{28}{7} = \frac{50 - 28}{7} = \frac{22}{7}[/tex]

Мы нашли все части, на которые поделилась сторона AC. Проверим, дадут ли найденные части в сумме 10:

AC = AH + HZ + ZC = [tex]\frac{20}{7} + \frac{22}{7} + 4 = \frac{42}{7} + 4= 6 + 4 = 10[/tex]

Всё совпало.

Ответ: AH = [tex]\frac{20}{7}[/tex];    HZ = [tex]\frac{22}{7}[/tex];   ZC = 4