Установить соответствие между функциями и их наибольшим/наименьшим значениями на промежутке [-2;1]:

1) y=x²-x; 2) у=х³+х²; 3) у=х+х²; 4) у=х²-х³.

Ответ:

1-А, 2-В, 3-Г, 4-Б.

Объяснение:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке:

1. Находим критические точки.
2. Вычисляем значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному промежутку и в крайних точках промежутка.
3. Выбираем наибольшее и наименьшее из них.

По этому алгоритму рассматриваем каждую из функций:

[tex]\Large \boldsymbol {} 1)\ y=x^2-x\\\\x \in (-\infty; +\infty)\\\\y'=(x^2-x)'=2x^{2-1} -1=2x-1\\\\2x-1=0 \Leftrightarrow \boxed{x=0,5 \in[-2;1]}- \text{Krit. tochka}\\\\----------------------\\\\y(0,5)=0,5^2-0,5=0,25-0,5=-0,25\\\\y(-2)=(-2)^2-(-2)=4+2=6\\\\y(1)=1^2-1=0\\\\y_{max}=y(-2)=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y_{min}=y(0,5)=-\frac{1}{4}\\ \ [-2;1] \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[-2;1][/tex]

1А - y(max)=6; y(min)=(-1/4)

[tex]\Large \boldsymbol {} 2)\ y=x^3+x^2\\\\x \in (-\infty; +\infty)\\\\y'=(x^3+x^2)'=3x^{3-1} +2x^{2-1} =3x^2+2x\\\\3x^2+2x=0 \\\\x(3x+2)=0 \\\\3x+2=0 \Leftrightarrow \boxed{x=-\frac{2}{3} \in[-2;1]}- \text{Krit. tochka}\\\\\boxed{x=0\in[-2;1]}- \text{Krit. tochka}\\\\----------------------\\\\y(0)=0^3+0^2=0\\\\y(-\frac{2}{3})=(-\frac{2}{3})^3+(\frac{2}{3})^2=-\frac{8}{27}+\frac{4}{9} =\frac{4}{27}\\\\y(-2)=(-2)^3+(-2)^2=-8+4=-4\\\\y(1)=1^3+1^2=1+1=2[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol {}y_{max}=y(1)=2 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y_{min}=y(-2)=-4\\ \ [-2;1] \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[-2;1][/tex]

2В - y(max)=2; y(min)=(-4).

[tex]\Large \boldsymbol {} 3)\ y=x+x^2\\\\x \in (-\infty; +\infty)\\\\y'=(x+x^2)'=1+2x^{2-1} =1+2x\\\\1+2x=0 \Leftrightarrow \boxed{x=-0,5 \in[-2;1]}- \text{Krit. tochka}\\\\----------------------\\\\y(-0,5)=-0,5+(-0,5)^2=-0,5+0,25=-\frac{1}{4}\\\\y(-2)=-2+(-2)^2=-2+4=2\\\\y(1)=1+1^2=1+1=2\\\\y_{max}=y(1)=y(-2)=2 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:y_{min}=y(-0,5)=-\frac{1}{4}\\ \ [-2;1] \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[-2;1][/tex]

3Г - y(max)=2; y(min)=(-1/4).

[tex]\Large \boldsymbol {} 4)\ y=x^2-x^3\\\\x \in (-\infty; +\infty)\\\\y'=(x^2-x^3)'=2x^{2-1} -3x^{3-1} =2x-3x^2\\\\2x-3x^2=0 \\\\x(2-3x)=0 \\\\2-3x=0 \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{2}{3} \in[-2;1]}- \text{Krit. tochka}\\\\\boxed{x=0\in[-2;1]}- \text{Krit. tochka}\\\\----------------------\\\\y(0)=0^2-0^3=0\\\\y(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^2-(\frac{2}{3})^3=\frac{4}{9}-\frac{8}{27} =\frac{4}{27} \\\\y(-2)=(-2)^2-(-2)^3=4-(-8)=12\\\\y(1)=1^2-1^3=0[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol {}y_{max}=y(-2)=12 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\:\:\:y_{min}=y(0)=y(1)=0\\ \ [-2;1] \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[-2;1][/tex]

4Б - y(max)=12; y(min)=0.