3/Нехай ABC - довільний трикутник, H - його висота з вершини A, а AM - медіана, проведена з вершини A. Оскільки HM - середня лінія трикутника ABC, то AM = 2 BM.
Позначимо кути трикутника ABC через A, B та C, а відповідні бічні сторони через a, b та c.
Оскільки висота ділить кут на два прямі кути, то кут AHC = 90°.
Також, оскільки AM - медіана, то BM = MC, тобто трикутник ABM дорівнює трикутнику ACM за принципом БОК. Отже, кути BAM і CAM дорівнюють один одному (ознака того, що трикутник ABC є рівнобедреним).
Оскільки AM ділить кут BAC на два рівні кути, то кут BAM = кут CAM = A/2.
Таким чином, кут BAC дорівнює 2A. Оскільки висота ділить кут BAC на три рівні кути, то кожен з цих кутів дорівнює (2A)/3.
Отже, кути трикутника дорівнюють:
A = 3 * [tex]\frac{(2A)}{3}[/tex]= 2A/3
B = C = (180° - A)/2 = (180° - 2A/3)/2 = 90° - A/3.
2.Оскільки медіана ВЕ - це середня лінія трикутника ABC, то ВЕ = (1/2)AC.
За теоремою Піфагора маємо:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Оскільки ВС на 2 см більше за AB, то BC = AB + 2. Підставляємо дані:
AC^2 = (6 см)^2 + (AB + 2 см)^2
AC^2 = 36 см^2 + AB^2 + 4AB + 4 см^2
AC^2 = AB^2 + 4AB + 40 см^2
Так як периметр трикутника АВС дорівнює 18 см, то ми можемо записати:
AB + BC + AC = 18 см
AB + (AB + 2) + AC = 18 см
2AB + AC = 16 см
AC = 8 см - AB/2
Підставляємо вираз для AC у вираз для AC^2, щоб отримати рівняння тільки з AB:
(8 см - AB/2)^2 = AB^2 + 4AB + 40 см^2
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
64 см^2 - 16 см AB + (AB/2)^2 = AB^2 + 4AB + 40 см^2
0 = AB^2 + 20 см AB - 44 см^2
Розв'язуємо квадратне рівняння:
AB = (-20 см ± √(20^2 - 41(-44)))/(2*1) ≈ (-20 см ± 8.77 см)/2
AB може бути або приблизно 1.11 см, або приблизно -21.11 см. Оскільки довжина сторони трикутника не може бути від'ємною, то ми приймаємо AB = 1.11 см.
Тоді BC = AB + 2 ≈ 3.11 см, а AC ≈ 6.78 см.
Оскільки ВЕ - медіана, то ВЕ = (1/2)AC ≈ 3.39 см.
За теоремою Піфагора в правильному трикутнику АЕВ маємо:
AE^2 = AV^2 - VE^2
Оскільки трикутник АВС правильний, то AV = (1/2)AB = 3 см. Підставляємо значення:
AE^2 = 3^2 - 3.39^2
AE ≈ 1.52 см
Отже, довжина відрізка АЕ становить близько 1.52 см
Answers & Comments
Ответ:
3/Нехай ABC - довільний трикутник, H - його висота з вершини A, а AM - медіана, проведена з вершини A. Оскільки HM - середня лінія трикутника ABC, то AM = 2 BM.
Позначимо кути трикутника ABC через A, B та C, а відповідні бічні сторони через a, b та c.
Оскільки висота ділить кут на два прямі кути, то кут AHC = 90°.
Також, оскільки AM - медіана, то BM = MC, тобто трикутник ABM дорівнює трикутнику ACM за принципом БОК. Отже, кути BAM і CAM дорівнюють один одному (ознака того, що трикутник ABC є рівнобедреним).
Оскільки AM ділить кут BAC на два рівні кути, то кут BAM = кут CAM = A/2.
Таким чином, кут BAC дорівнює 2A. Оскільки висота ділить кут BAC на три рівні кути, то кожен з цих кутів дорівнює (2A)/3.
Отже, кути трикутника дорівнюють:
A = 3 * [tex]\frac{(2A)}{3}[/tex]= 2A/3
B = C = (180° - A)/2 = (180° - 2A/3)/2 = 90° - A/3.
2.Оскільки медіана ВЕ - це середня лінія трикутника ABC, то ВЕ = (1/2)AC.
За теоремою Піфагора маємо:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Оскільки ВС на 2 см більше за AB, то BC = AB + 2. Підставляємо дані:
AC^2 = (6 см)^2 + (AB + 2 см)^2
AC^2 = 36 см^2 + AB^2 + 4AB + 4 см^2
AC^2 = AB^2 + 4AB + 40 см^2
Так як периметр трикутника АВС дорівнює 18 см, то ми можемо записати:
AB + BC + AC = 18 см
AB + (AB + 2) + AC = 18 см
2AB + AC = 16 см
AC = 8 см - AB/2
Підставляємо вираз для AC у вираз для AC^2, щоб отримати рівняння тільки з AB:
(8 см - AB/2)^2 = AB^2 + 4AB + 40 см^2
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
64 см^2 - 16 см AB + (AB/2)^2 = AB^2 + 4AB + 40 см^2
0 = AB^2 + 20 см AB - 44 см^2
Розв'язуємо квадратне рівняння:
AB = (-20 см ± √(20^2 - 41(-44)))/(2*1) ≈ (-20 см ± 8.77 см)/2
AB може бути або приблизно 1.11 см, або приблизно -21.11 см. Оскільки довжина сторони трикутника не може бути від'ємною, то ми приймаємо AB = 1.11 см.
Тоді BC = AB + 2 ≈ 3.11 см, а AC ≈ 6.78 см.
Оскільки ВЕ - медіана, то ВЕ = (1/2)AC ≈ 3.39 см.
За теоремою Піфагора в правильному трикутнику АЕВ маємо:
AE^2 = AV^2 - VE^2
Оскільки трикутник АВС правильний, то AV = (1/2)AB = 3 см. Підставляємо значення:
AE^2 = 3^2 - 3.39^2
AE ≈ 1.52 см
Отже, довжина відрізка АЕ становить близько 1.52 см