Ответ: один

Пошаговое объяснение: [tex]f(x)=x^2-\frac{1}{3}x^3-3[/tex]

Найдем область определения:

Функция определена на всей числовой прямой.

[tex]D(f)=R[/tex]

Найдем производную:

[tex]f(x)=x^2-\frac{1}{3}x^3-3\\f'(x)=(x^2-\frac{1}{3}x^3-3)'=(x^2)'-(\frac{1}{3}x^3)'-3'=2x-x^2[/tex]

Найдем критические точки:

[tex]2x-x^2=0\\x(2-x)=0\\x=0;2[/tex]

Найдем области возрастания и убывания ф-ции:

Возрастает: [0; 2]

Убывает: (-∞; 0] ∪ [2; +∞)

Прикрепил фото.

Теперь немного проанализируем области возрастания и убывания:

f(x) монотонно убывает на промежутке x ∈ (-∞; 0], при этом в точке x=0 наша ф-ция принимает значение:

[tex]f(0)=0^2-\frac{1}{3} *0^3-3=-3[/tex]

Это значит, что на промежутке x ∈ (-∞; 0] наша функция обязательно в какой-то точке x0 примет значение f(x0) = 0, а значит уравнение [tex]x^2-\frac{1}{3}x^3-3=0[/tex]  имеет как минимум один корень.

f(x) монотонно возрастает на промежутке x ∈ [0; 2], при этом в точке x=0 наша ф-ция принимает значение f(0) = -3, а в точке x=2:

[tex]f(2)=2^2-\frac{1}{3}* 2^3-3=-\frac{5}{3}[/tex]

Это значит, что для всех х на промежутке x ∈ [0; 2]  f(x) ≠ 0, соответственно корней здесь нет.

Промежуток [2; +∞) можно уже не рассматривать, так как ф-ция здесь монотонно убывает с f(2) = -5/3.

Задача решена!