[tex](10 {x}^{2} + x + 3) {}^{2} + 5(10 {x}^{2} + x + 3) - 6 = 0 \\ 10 {x}^{2} + x + 3 = a \\ a {}^{2} + 5a - 6 = 0[/tex]

По теореме Виета:

[tex] {x}^{2} + bx + c = 0\\ x_{1} + x_{2} = - b\\ x_{1} x_{2} = c [/tex]

[tex]a_{1} + a_{2} =  - 5 \\ a_{1}a_{2} = - 6  \\ a_{1} =  - 6\\ a_{2} = 1 \\ \\ 1) \: a = - 6 \\ 10 {x}^{2} + x + 3 = - 6 \\ 10 {x}^{2} + x + 9 = 0 \\ D = {1}^{2} - 4 \times 10 \times 9 = 1 - 360 = - 359 \\ D < 0[/tex]

нет корней

[tex]2) \: a = 1 \\ 10 {x}^{2} + x + 3 = 1 \\ 10 {x}^{2} + x + 2 = 0 \\ D = {1}^{2} - 4 \times 10 \times 2 = 1 - 80 = - 79 \\ D < 0[/tex]

нет корней

Ответ: нет корней