Verified answer

Знайдіть кут між векторами a+2b і a-2b, якщо |a|=4,|b|=8,кут між векторами a і b дорівнює 120°.

Возможны 2 способа решения задания: 1) геометрический и 2) координатный.

1) В треугольнике АВЕ сторона АЕ равна длине суммы двух векторов: a и 2b.

По теореме косинусов находим:

АЕ = √(4² + (2*8)² - 2*4*(2*8)*cos 60°) = √(16 + 256 – (128*(1/2)) =

              = √(272 - 64) = √208 = 4√13  ≈ 14,422205.

Модуль суммы векторов a и 2b равен 14.422205.

Находим угол ЕАВ по теореме косинусов.

cos ЕАВ = ((208 + 16 – 256)/)2*4√13*4 = -32/(32√13) = -1/√13.

Угол равен arccos(-1/√13) ≈ 106,102114 градуса.

Переходим к треугольнику AВG с векторами a и -2b, только угол между векторами не 60, а 120 градусов.

По теореме косинусов находим:

АЕ = √(4² + (2*8)² - 2*4*(2*8)*cos 120°) = √(16 + 256 – (128*(-1/2)) =

              = √(272 + 64) = √336 = 4√21  ≈ 18,330303.

Модуль суммы векторов a и -2b равен 18,330303.

Находим угол ВAG.

cos BAG = ((336 + 16 – 256)/)2*4√21*4 = 96/(32√21) = 3/√21 .

Угол равен arccos(3/(√21)) ≈ 49,106605 градуса.

Отсюда находим угол EAG между векторами a+2b и a-2b.

Он равен 106,102114 + 49,106605 = 155,2087 градуса.

2) Примем вектор а по оси Ох.

Его координаты: a(4; 0).

Вектор 2b разложим по осям.

x(2b) = 16*cos(120°) = 12*(-1/2) = -8,

y(2b) = 16*sin(120°) = 16*(√3/2) = 8√3.

Вектор 2b = (-8; 8√3).

Находим координаты суммы двух векторов a + 2b.

a + 2b = (4+(-8); 0 + 8√3) = (-4; 8√3).

Его модуль равен √((-4)² + (8√3)²) = √(16 + 192) = √208.

Аналогично определяем сумму двух векторов a и (-2b).

Вектор (-2b) имеет обратные знаки по сравнению с 2b.

-2b = (8;-8√3).

Находим координаты суммы двух векторов a +(-2b).

a + (-2b) = (4 + 8); 0 + (-8√3)) = (12; (-8√3)).

Его модуль равен √(12² + (-8√3)²) = √(144 + 192) = √336.

Теперь можно определить угол EAG между векторами a+2b = (-4; 8√3) и a-2b = (12; (-8√3)) по формуле угла между векторами.

cos EAG = ((-4)*12 + (8√3)*(-8√3))/( 4√13*4√21) = -240/(16√273) = -15/√273 ≈ -240/264,3633863 ≈ -0,907841299.

Угол равен arccos(-0,907841299) = 2,708903176 радиан или  155,2087191 градуса.