50 баллов ! докажите что число 2528 нельзя представить в виде суммы семи шестых ...

titarevandrew @titarevandrew

August 2022 1 8 Report

50 баллов ! докажите что число 2528 нельзя представить в виде суммы семи шестых степени целых чисел

Answers & Comments

yugolovin

Verified answer

${}$ Я могу дать только одну интерпретацию условия: доказать, что число 2528 нельзя представить в виде суммы

$a_1^6+a_2^6+a_3^6+a_4^6+a_5^6+a_6^6+a_7^6,$

где $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6,\ a_7\ -$ целые числа. Такую задачу я и буду решать.

Поскольку шесть четное число, достаточно доказать утверждение для неотрицательных целых чисел. Имеем:

$0^6=0;\ 1^6=1;\ 2^6=64;\ 3^6=729;\ 4^6=4096>2528\Rightarrow n^6>2528$

при n>3. Поэтому надо пытаться делать 2528 из чисел 0, 1, 64 и 729.

Если использовать только первые три числа, то сумма будет не больше чем $7 \cdot 64=448.$ До 2528 мы не дотянули на 2528-448=2080 единиц. Значит, надо использовать и 729, причем поскольку

$2080:729=2,8...$ , 729 нужно использовать как минимум 3 раза, а поскольку 729·4=2916>2528, число 729 нужно использовать ровно 3 раза. Теперь задача сводится к более простой:

2528-729·3=2528-2187=341; число 341 нужно представить в виде суммы четырех чисел, используя только 0, 1, и 64. Однако такая сумма заведомо не может быть больше, чем 4·64=256.

Следовательно, мы доказали, что число 2528 нельзя представить в виде суммы семи шестых степеней целых чисел.

1 votes Thanks 1