Даны четыре точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4), C(2; 10; 10), D(7; 5; 9).
Составить уравнения:
а) прямой АB. Точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4).
Направляющий вектор равен: АB = (6-4; 9-6; 4-5) = (2; 3; -1).
Уравнение АB: (x - 4)/2 = (y - 6)/3 = (z - 5)/(-1).
б) плоскости АBC. Точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4), C(2; 10; 10).
Находим векторы АB и АC.
Вектор АВ найден: АB = (2; 3; -1).
АC = = (2-4; 10-6; 10-5) = (-2; 4; 5).
Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC по схеме Саррюса.
i j k| i j
2 3 -1| 2 3
-2 4 5| -2 4 = 15i + 2j + 8k - 10j + 4i + 6k =
= 19i - 8j + 14k.
Нормальный вектор плоскости АBC равен (19; -8; 14).
Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости:
(x−4)⋅19+(y−6)⋅(-8)+(z−5)⋅14=0.
19x - 8y + 14z – 98 = 0.
Уравнение АBC: 19x - 8y + 14z – 98 = 0.
в) прямой DE перпендикулярной к плоскости АBC; точка D(7; 5; 9).
Направляющим вектором прямой DE является нормальный вектор плоскости АBC, найденный ранее и равный (19; -8; 14).
Уравнение DE: (x - 7)/19 = (y - 5)/(-8) = (z - 9)/14.
г) прямой DN, параллельной прямой АB.
У этой прямой направляющий вектор равен вектору АB, равный (2; 3; -1).
Уравнение DN: (x - 7)/2 = (y - 5)/3 = (z - 9)/(-1).
д) плоскости проходящей через точку D перпендикулярно к прямой АB.
У этой плоскости нормальный вектор совпадает с вектором АB.
(x−7)⋅2 + (y−5)⋅3+(z−9)⋅(-1)=0.
2x - 14 + 3y – 15 – 1z + 9 = 0.
2x + 3y – 1z – 20 = 0.
Вычислить:
е) длину ребра BC.
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Находим координаты вектора BC по точкам B (6; 9; 4), C(2; 10; 10).
BC = (2-6; 10-9; 10-4) = (-4; 1; 6).
Длина BC = √((-4)² + 1² + 6²) = √(16 + 1 + 36) = √53.
ж) угол между ребром CD и плоскостью ABC.
Точки C(2; 10; 10), D(7; 5; 9).
Находим вектор CD: s = (7-2; 5-10; 9-10) = (5; -5; -1).
Уравнение CD: (x -2)/5 = (y – 10)/(-5) = (z – 10)/(-1).
Нормальный вектор плоскости АВС q = (19; -8; 14).
Угол между векторами s и q равен углу между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q || s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)) =
= | 19 · 5 + (-8) · (-5) + 14 · (-1) |/(√(19² + (-8)² + 14²) · √(5² + (-5)² + (-1)²)) =
= | 95 + 40 - 14 |/(√(361 + 64 + 196) · √(25 + 25 + 1)) =
= 121/(√621 · √51) =
= 121/√31671 = 121√391/3519 ≈ 0,67991.
φ = 42,837°
з) угол между координатной плоскостью OXY и плоскостью ABC.
Координатная плоскость Oxy имеет уравнение z = 0.
Уравнение плоскости АBC: 19x - 8y + 14z – 98 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
z = 0 и 19x - 8y + 14z – 98 = 0.
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)).
cos α = |0·19 + 0·(-8) + 1·14|/(√(0² + 0² + 1²)* √(19² + (-8)² + 14²)) =
= |0 + 0 + 14|/(√(0 + 0 + 1)* √(361 + 64 + 196)) =
= 14/(√1* √621) = 14/3√69= 14√69/207 ≈ 0,5618.
α = 55,82°.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Даны четыре точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4), C(2; 10; 10), D(7; 5; 9).
Составить уравнения:
а) прямой АB. Точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4).
Направляющий вектор равен: АB = (6-4; 9-6; 4-5) = (2; 3; -1).
Уравнение АB: (x - 4)/2 = (y - 6)/3 = (z - 5)/(-1).
б) плоскости АBC. Точки A( 4; 6; 5), B (6; 9; 4), C(2; 10; 10).
Находим векторы АB и АC.
Вектор АВ найден: АB = (2; 3; -1).
АC = = (2-4; 10-6; 10-5) = (-2; 4; 5).
Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC по схеме Саррюса.
i j k| i j
2 3 -1| 2 3
-2 4 5| -2 4 = 15i + 2j + 8k - 10j + 4i + 6k =
= 19i - 8j + 14k.
Нормальный вектор плоскости АBC равен (19; -8; 14).
Подставляем найденные координаты нормального вектора в уравнение плоскости:
(x−4)⋅19+(y−6)⋅(-8)+(z−5)⋅14=0.
19x - 8y + 14z – 98 = 0.
Уравнение АBC: 19x - 8y + 14z – 98 = 0.
в) прямой DE перпендикулярной к плоскости АBC; точка D(7; 5; 9).
Направляющим вектором прямой DE является нормальный вектор плоскости АBC, найденный ранее и равный (19; -8; 14).
Уравнение DE: (x - 7)/19 = (y - 5)/(-8) = (z - 9)/14.
г) прямой DN, параллельной прямой АB.
У этой прямой направляющий вектор равен вектору АB, равный (2; 3; -1).
Уравнение DN: (x - 7)/2 = (y - 5)/3 = (z - 9)/(-1).
д) плоскости проходящей через точку D перпендикулярно к прямой АB.
У этой плоскости нормальный вектор совпадает с вектором АB.
(x−7)⋅2 + (y−5)⋅3+(z−9)⋅(-1)=0.
2x - 14 + 3y – 15 – 1z + 9 = 0.
2x + 3y – 1z – 20 = 0.
Вычислить:
е) длину ребра BC.
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Находим координаты вектора BC по точкам B (6; 9; 4), C(2; 10; 10).
BC = (2-6; 10-9; 10-4) = (-4; 1; 6).
Длина BC = √((-4)² + 1² + 6²) = √(16 + 1 + 36) = √53.
ж) угол между ребром CD и плоскостью ABC.
Точки C(2; 10; 10), D(7; 5; 9).
Находим вектор CD: s = (7-2; 5-10; 9-10) = (5; -5; -1).
Уравнение CD: (x -2)/5 = (y – 10)/(-5) = (z – 10)/(-1).
Нормальный вектор плоскости АВС q = (19; -8; 14).
Угол между векторами s и q равен углу между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q || s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)) =
= | 19 · 5 + (-8) · (-5) + 14 · (-1) |/(√(19² + (-8)² + 14²) · √(5² + (-5)² + (-1)²)) =
= | 95 + 40 - 14 |/(√(361 + 64 + 196) · √(25 + 25 + 1)) =
= 121/(√621 · √51) =
= 121/√31671 = 121√391/3519 ≈ 0,67991.
φ = 42,837°
з) угол между координатной плоскостью OXY и плоскостью ABC.
Координатная плоскость Oxy имеет уравнение z = 0.
Уравнение плоскости АBC: 19x - 8y + 14z – 98 = 0.
Вычислим угол между плоскостями
z = 0 и 19x - 8y + 14z – 98 = 0.
cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)* √(A2² + B2² + C2²)).
cos α = |0·19 + 0·(-8) + 1·14|/(√(0² + 0² + 1²)* √(19² + (-8)² + 14²)) =
= |0 + 0 + 14|/(√(0 + 0 + 1)* √(361 + 64 + 196)) =
= 14/(√1* √621) = 14/3√69= 14√69/207 ≈ 0,5618.
α = 55,82°.