Даю 50 баллов! Задача ЛЕГКАЯ, просто я МАМОНТ.
RU: Дано функцию y=x²-5x+1, найдите координаты точки графика функции, в которой касательная к этому графику образует с осью абсцисс угол 45°.
UA: Дано функцію y=x²-5x+1, знайдіть координати точки графіка функції в якій дотична до цього графіка утворює з віссю абсцис кут 45°.
RU: Дано функцию y=x²-5x+1, найдите координаты точки графика функции, в которой касательная к этому графику образует с осью абсцисс угол 45°.
UA: Дано функцію y=x²-5x+1, знайдіть координати точки графіка функції в якій дотична до цього графіка утворює з віссю абсцис кут 45°.
Answers & Comments
Решение.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания .
Производная функции [tex]\bf y=x^2-5x+1[/tex] равна [tex]\bf y'=2x-5[/tex] .
Пусть точка касания имеет координаты [tex]\bf (x_0;y_0)[/tex] , тогда угловой коэффициент касательной равен [tex]\bf k=y'(x_0)=2x_0-5[/tex] .
С другой стороны угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. Поэтому [tex]\bf k=tg45^\circ =1[/tex] .
Составим уравнение [tex]\bf 2x_0-5=1\ \ \Rightarrow \ \ 2x_0=6\ \ ,\ \ x_0=3[/tex] .
Найдём ординату точки касания.
[tex]\bf y_0=y(x_0)=3^2-5\cdot 3+1=9-15+1=-5[/tex]
Точка касания [tex]\bf M(\, 3\, ;-5\, )[/tex] .
P.S. Зная координаты точки касания, можно составить уравнение касательной , оно имеет вид у=х-8 .