Ответ:

[tex]x_1 =\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} ~~ ; ~~ y_1 =\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}[/tex]

[tex]x_2 = \dfrac{1}{\sqrt[3]{9} } ~~ ; ~~ y_2 = \dfrac{2}{\sqrt[3]{9} }[/tex]

Объяснение:

[tex]\left \{\begin{array}{l}x^3 +y^3= 1 \\\\ x^2y + 2xy^2 + y^3 =2 \end{array} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}(x+y)(x^2 -xy + y^2)= 1 \\\\ y(x^2 + 2xy + y^2 )=2 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}(x+y)(x^2 -xy + y^2)= 1 \\\\ y(x+y )^2=2 \end{array}[/tex]

Разделим второе уравнение системы на первое

[tex]\displaystyle \frac{y(x+y)^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{2}{1} \\\\\\ \frac{(x+y)y}{x^2 - xy + y^2} = 2 \\\\ xy +y^2 = 2x^2 - 2xy +2y^2 \\\\ 2x^2 -3xy +y^2 = 0 \\\\ 2x^2 - 2xy -(y^2 -xy) =0 \\\\ 2x(x-y) - y(x-y) =0 \\\\ (x-y)(2x-y ) =0 \\\\ 1)~x- y = 0 ~ ~ ~~ 2) ~2x - y =0 \\\\ \ ~~~~x = y ~~~~~~~~~~~~~~ y = 2x[/tex]

Подставим   x = y   в первое уравнение системы

[tex]x^3 + x^3 = 1 \\\\ 2x^3 = 1 \\\\ x_1 =\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} ~~ ; ~~ y_1 =\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}[/tex]

Если подставить во второе уравнение выйдет аналогично

Теперь подставим в первое уравнение   y = 2x

[tex](2x)^3 + x^3 = 1 \\\\ 9x^3 = 1 \\\\ x_2 = \dfrac{1}{\sqrt[3]{9} } ~~ ; ~~ y_2 = \dfrac{2}{\sqrt[3]{9} }[/tex]

Если подставить   y = 2x  во второе . то все снова сведется к первому

[tex](x+y)^2 \cdot y= 2 \\\\ (2x + x)^2 \cdot 2 x = 2 \\\\ 9x^2 \cdot 2x = 2 \\\\ 9x^3 = 1[/tex]

Соответственно других решений нет.