Точка O- точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если S(Δ BOC)=6 ,  BO:OD=2:5.

Объяснение:

S(трапеции АВСD)=S(ΔАОВ)+S(ΔВOС)+S(ΔDOС)+S(ΔDOA).

1)ΔВОС~ΔDOA по двум углам : ∠BOC=∠DОА как вертикальные , ∠OCB=∠OAD как накрест лежащими при  AD||BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей AC.Коэффициент подобия к=ВО/ОD=2/5.  Поэтому S(ΔВОС) :S(ΔDOA)=к² или

6 :S(ΔDOA)=4:25 ⇒S(ΔDOA)=37,5 ед² .

2)Найдем S(ΔСОD). У треугольников ΔВОС и ΔDOС высоты , проведенные из вершины С, равные . Обозначим как h.

Составим отношение S(ΔВОС) :S(ΔDOС)=(0,5*ВО*h) :(0,5*DO*h) или

6 :S(ΔDOС)=ВО: DO , 6 :S(ΔDOС)=2:5   ⇒S(ΔDOС)=15 ед².

3)Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны (*),  т.е. S(ΔDOС)=S(ΔАОВ)=15 ед².

4)S(АВСD)=S(ΔАОВ)+S(ΔВOС)+S(ΔDOС)+S(ΔDOA)=

=15+6+15+37,5=73,5 (ед²). orjabinina

========================

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны (*) :

Т.к. ΔВОС~ΔDOA по двум углам , то ВО:ОD=СО:ОА ⇒ ВО*ОА=СО*ОD.

S(ΔАОВ)=0,5*ВО*ОА*sin∠BOA ,  S(ΔDOA)=0,5*СО*ОD*sin∠COD.

Т.к. sin∠BOA=*sin∠COD , тк вертикальные  , то

0,5*ВО*ОА*sin∠BOA =0,5*СО*ОD*sin∠COD  ⇒  S(ΔАОВ)=S(ΔDOС).