Ответ:  [tex]y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}+C_1\dfrac{(x-1)^2}{2}+C_2;\ y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3}{2}(x-1)^2+\dfrac{11}{6}.[/tex]

Пошаговое объяснение: [tex]{}[/tex] [tex]y''-\dfrac{y'}{x-1}=x(x-1) -[/tex]  это линейное неоднородное уравнение 2-го порядка . Поскольку в уравнении в явном виде отсутствует [tex]y,[/tex] можно понизить порядок уравнения, сделав замену

[tex]y'(x)=u(x).[/tex]  Но мы пойдем другим путем:

[tex]\dfrac{(x-1)y''-y'}{(x-1)^2}=x; \left(\dfrac{y'}{x-1}\right)'=x;\ \dfrac{y'}{x-1}=\dfrac{x^2}{2}+C_1; y'=\dfrac{x^2(x-1)}{2}+C_1(x-1);[/tex]

[tex]y'=\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{x^2}{2}+C_1(x-1);\ y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{C_1(x-1)^2}{2}+C_2.[/tex]

Это - общее решение. Чтобы найти частное решение, подставим начальные условия в выражения для производной и самой функции. Получаем

[tex]-1=\dfrac{4}{2}+C_1;\ C_1=-3;[/tex]

[tex]1=\dfrac{16}{8}-\dfrac{8}{6}+\dfrac{-3}{2}+C_2;\ C_2=\dfrac{11}{6}\Rightarrow[/tex]

[tex]y=\dfrac{x^4}{8}-\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{3}{2}(x-1)^2+\dfrac{11}{6}.[/tex]