5.118. Решите уравнение:
1)6(x+1)²+2(x-1)(x²+x+1)-2(x+1)³=32;
2)5x(x-3)2−5(x−1)3+15(x+2)(x-2)=5;
3)(x+2)³-x(3x+1)²+(2x+1)(4x²-2x+1)=42.
1)6(x+1)²+2(x-1)(x²+x+1)-2(x+1)³=32;
2)5x(x-3)2−5(x−1)3+15(x+2)(x-2)=5;
3)(x+2)³-x(3x+1)²+(2x+1)(4x²-2x+1)=42.
Answers & Comments
Ответ:
Раскроем скобки и упростим выражение: 6(x² + 2x + 1) + 2(x³ + x² + x - x² - 1 + x - 1) - 2(x³ + 3x² + 3x + 1) = 32 6x² + 12x + 6 + 2x² + 2x - 2 - 2x³ - 6x² - 6x - 2 + 32 = 0 -2x³ + 4x + 32 = 0 x³ - 2x - 16 = 0 (x - 2)(x² + 2x + 8) = 0
Так как квадратное уравнение x² + 2x + 8 имеет отрицательный дискриминант, то единственным решением уравнения является x = 2.
Раскроем скобки и упростим выражение: 5x⁵ - 45x⁴ + 135x³ - 155x² + 75x - 5 + 15x² - 30x - 30x + 60 = 5 5x⁵ - 45x⁴ + 135x³ - 140x² + 15x + 55 = 0 x⁵ - 9x⁴ + 27x³ - 28x² + 3x + 11 = 0
Подставим в уравнение x = 1, чтобы найти один корень: 1 - 9 + 27 - 28 + 3 + 11 = 5 Таким образом, (x - 1) является одним из множителей. Разделим уравнение на (x - 1): x⁴ - 8x³ + 19x² - 9x - 11 = 0
Подставим в уравнение x = 2, чтобы найти ещё один корень: 16 - 64 + 76 - 18 - 11 = -1 Таким образом, (x - 2) является ещё одним множителем. Разделим уравнение на (x - 2): x³ - 6x² + 7x + 5 = 0 Решим кубическое уравнение, например, методом подбора целых корней: x = -1 является корнем. Делением на (x + 1) получаем квадратное уравнение: x² - 7x - 5 = 0 x = (7 ± √69) / 2
Таким образом, решениями уравнения являются x = 1, x = 2, x = (7 + √69) / 2 и x = (7 - √69) / 2.
Объяснение: