Verified answer

Ответ:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^{\frac{\pi }{2} }_0 {(2sin\;2x-\frac{1}{3}cos \;\frac{x}{3}) } \, dx=1\frac{1}{2}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Вычислить интеграл:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^{\frac{\pi }{2} }_0 {(2sin\;2x-\frac{1}{3}cos \;\frac{x}{3}) } \, dx[/tex]

Формулы:

[tex]\boxed {f(x)=sin(kx+b)\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;F(x)=-\frac{1}{k}cos(kx+b)+C } \\\\\\\boxed {f(x)=cos(kx+b)\;\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;F(x)=\frac{1}{k}sin(kx+b)+C }[/tex]

Формула Ньютона - Лейбница

[tex]\boxed {\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits^{\frac{\pi }{2} }_0 {\left(2sin\;2x-\frac{1}{3}cos \;\frac{x}{3}\right) } \, dx=\\\\=\left(-2\cdot \frac{1}{2} cos\;2x-\frac{1}{3} \cdot3sin\;\frac{x}{3}\right)\bigg|^{\frac{\pi }{2}}_0=\\ \\ =\left(-cos\;2x-sin\frac{x}{3}\right)\bigg|^{\frac{\pi }{2} }_0=-cos\;\pi -sin \;\frac{\pi }{6}+cos\;0+sin\;0=\\ \\=1-\frac{1}{2}+1+0=1\frac{1}{2}[/tex]