Задача 5.3:

BE, CF и AX  — высоты треугольника ABC. AX = BE, CX = CCF, AC = 17. Найти длину отрезка BC.

Решение:

Р-м ΔACX и ΔBCE:

Треугольники ACX и BCE — прямоугольные, ∠X = ∠E = 90°

∠ACX = ∠BOE — как вертикальные, AX = BE и CX = EX — по условию.

Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (два катетам и угол между ними), или по второму (катет и прилегающие к нему углы).

Если треугольники равны, равны и их соответствующие элементы:

ΔACX = ΔBCE ⇒ AC = BC, CX = CE, XA = EA, и то же самое с градусными мерами углов.

Следовательно, BC = AC = 17 дм.

Ответ:

Длина отрезка АС равна 17 дм.

Задача 5.5:

1) На одной стороне угла с вершиной A отмечены точки D и B, на другой стороне — C и E так, что AD = AC = 3 см, AB = AE = 4 см. Доказать, что: а) ВС = DE б) KB = KE, где К — точка пересечения отрезков BC и ED.

Доказательство:

a) Р-м ΔABC и ΔAED:

∠A — общий, AB = AE = 4 см, АС = AD = 3 см — всё дано по условию задачи.

Треугольники ABC и AED равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угл между ними). Если треугольники равны, равны и соответствующие элементы.

AB = AE, BC = ED, CA = DA  ⇒  BC = ED

б)

Т.к. ΔABE = ΔAED, ∠ADE = ∠ACB  ⇒  ∠KDB = ∠KCE ⇒ ΔBKD = ΔEKC по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла)  ⇒  KB = KE.

2) ΔABC и ΔA₁B₁C₁ — равнобедренные треугольники с основаниями AC и A₁C₁ точки К и К₁ — середины сторон BC и B₁C₁ соответственно. AB = A₁B₁, AK = A₁K₁. Доказать, что треугольник ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Доказательство:

Т.к. треугольники ABC и A₁B₁C₁ равнобедренные, то AB = BC, A₁B₁ = B₁C₁  ⇒  BC = B₁C₁.

Т.к. AK, A₁K₁ — медианы, BK=B₁K₁ и KC = K₁C₁.

Р-м ΔABK и ΔA₁B₁K₁:

AB = A₁B₁, BK = B₁K₁, AK = A₁K₁  ⇒  ΔABK и ΔA₁B₁K₁ равны по третьему признаку (три стороны).   ⇒  ∠A = ∠A₁.

ΔABC=ΔA₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угл).