Ответ:

1. 10 см

2. 150 градусов

Объяснение:

1.

За теоремою про бісектрису внутрішнього кута трикутника, ми знаємо, що BK розділяє сторону AC на дві частини пропорційні до двох інших сторін трикутника AB та BC. Оскільки BK є висотою трикутника, ці частини складаються з відрізків AK та KC.

Позначимо сторону AB через b, а сторону BC через c. Тоді за вищенаведеною властивістю, маємо:

AC = AK + KC = (b * BK) / (b + c) + (c * BK) / (b + c) = BK * (b + c) / (b + c) = BK = 5 см

Так як бісектриса є висотою трикутника, то трикутник ABC є рівнобедреним і ми маємо AB = BC = b + c / 2. Позначимо цю довжину сторони як a.

Тоді периметр трикутника ABC буде:

P = AB + BC + AC = a + a + 5 см = 2a + 5 см

Залишилося знайти довжину сторони AB, щоб визначити периметр. Ми можемо зробити це, використовуючи інформацію про периметр трикутника ABK.

Оскільки ABK є прямокутним трикутником, ми можемо застосувати теорему Піфагора:

AB^2 + BK^2 = AK^2

Застосовуючи значення BK та AK = AC - KC = 5 см, ми отримуємо:

AB^2 + 25 см^2 = (b + c - 5 см)^2

AB^2 + 25 см^2 = b^2 + c^2 + 25 см^2 - 10bc + 10сс - 10bс

AB^2 = b^2 + c^2 - 2bc = (b - c)^2

Отже, AB = BC = |b - c|. Ми знаємо, що BK = 5 см та AB + BC = 2(BK), тому

|b - c| + |b - c| = 2(5 см)

2|b - c| = 10 см

|b - c| = 5 см

Оскільки AB та BC не можуть бути від'ємними, ми можемо записати:

AB = BC = b - c = 5 см

Тоді a = 2(AB) = 10

2.

За властивостями медіани трикутника, медіана BK ділить сторону AC на дві рівні частини. Позначимо середину сторони AC як M. Оскільки BK перпендикулярна до AC, то кут MBK є прямим кутом.

Також, оскільки AM = MC, кути AMB та CMB є рівними. Позначимо ці кути як x.

Оскільки кут ABK = 25 градусів, то кути MBK та MBA також є 25 градусів. Оскільки кути в трикутнику додаються до 180 градусів, маємо:

MBK + MBA + ABK = 180 градусів

25 градусів + MBA + 25 градусів = 180 градусів

MBA = 130 градусів

Також, оскільки кути AMB та CMB є рівними та додаються до кута ABC, маємо:

2x + ABC = 180 градусів

ABC = 180 градусів - 2x

Ми можемо знайти значення кута x, використовуючи теорему синусів в трикутнику ABK:

sin x / BK = sin ABK / AB

sin x / BM = sin 25 градусів / (AC / 2)

Оскільки AM = MC, то BM = MC = AC / 2. Підставляючи ці значення та BK = BM = MC, ми отримуємо:

sin x / BK = sin 25 градусів / (BK + CK)

sin x / BK = sin 25 градусів / (2BK)

sin x = sin 25 градусів / 2

x = arcsin(sin 25 градусів / 2)

x ≈ 14.5 градусів

Підставляючи це значення в формулу для кута ABC, ми отримуємо:

ABC = 180 градусів - 2x ≈ 150 градусів

Отже, кут ABC ≈ 150 градусів.