Ответ:

4 решения.

Пошаговое объяснение:

1/a + 1/b + 1/(ab) = 1/5

Умножаем всё на 5ab, избавляемся от дробей

5b + 5a + 5 = ab

5(a + b + 1) = ab

Очевидно, что или а, или b кратно 5.

Будем считать, что a кратно 5.

Тогда можно написать: a = 5k, где k - натуральное число.

5(5k + b + 1) = 5kb

5k + b + 1 = kb

5k + 1 = kb - b = b(k - 1)

b = (5k + 1)/(k - 1)

Выделим целую часть.

5k + 1 = 5(k-1) + 5 + 1 = 5(k-1) + 6

b = (5(k-1) + 6)/(k-1) = 5 + 6/(k-1)

Число b будет натуральным, только если 6 делится на (k-1) нацело.

А это будет только в таких случаях:

k - 1 = 1; k = 2; a = 5k = 10; b = 5 + 6/1 = 11

k - 1 = 2; k = 3; a = 5k = 15; b = 5 + 6/2 = 8

k - 1 = 3; k = 4; a = 5k = 20; b = 5 + 6/3 = 7

k - 1 = 6; k = 7; a = 5k = 35; b = 5 + 6/6 = 6

Таким образом, это уравнение имеет 4 решения в натуральных числах.