Ответ:

Для вычисления предела применим второй замечательный предел  [tex]\lim\limits_{x \to 0}\, (1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/tex]  .

[tex]\lim\limits_{x \to 0}\, \Big(cos2x\Big)^{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x \to 0}\, \displaystyle \Big(cos2x+1-1\Big)^{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x \to 0}\, \Big(1+(\underbrace{cos2x-1}_{\to \, 0})\Big)^{\frac{cos2x-1}{(cos2x-1)\, x^2}}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 0}\, \left(\Big(1+(cos2x-1)\Big)^{\frac{1}{(cos2x-1)}}\right)^{\frac{cos2x-1}{x^2}}=e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{cos2x-1}{x^2}}=e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{-(1-cos2x)}{x^2}}=[/tex]

[tex]=e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{-2sin^2x}{x^2}}=e^{\lim\limits_{x \to 0}\frac{-2x^2}{x^2}}=e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}[/tex]

В последней строчке заменили беск. малую величину   [tex]sin^2x[/tex]  на эквивалентную ей бесконечно малую величину  [tex]x^2[/tex]  при  [tex]x\to 0[/tex]  .

Verified answer

Решение задания во вложении.