Ответ:

1. А) х ∈ (-1; +∞)

Б) х ∈ (3; +∞)
В) х ∈ (-∞; -1] U [3; +∞)

Пошаговое объяснение:

[tex]\bold {1. A)\ log_2 (x +3) > 1}[/tex]

ОДЗ: х + 3 > 0

х > -3

Так как по свойству логарифмов [tex]log_a a = 1[/tex], то:

[tex]log_2 (x +3) > log_2 2[/tex]

Так как основание логарифмов больше единицы, то знак неравенства не меняется.

х + 3 > 2

x > -1

С учетом ОДЗ запишем ответ.

Ответ: х ∈ (-1; +∞)

Б) [tex]\bold {log_{0,15} (x - 3) > log_{0,15} (3x - 7)}[/tex]

ОДЗ: [tex]\left \{ {{x - 3 > 0} \atop {3x - 7 > 0}} \right.[/tex]

[tex]\left \{ {{x > 3} \atop {x > \frac{7}{3} }} \right.[/tex]

x > 3

Так как основание логарифмов меньше единицы и больше нуля, то изменяем знак неравенства на противоположный.

х - 3 < 3x - 7

x - 3x < -7 + 3

-2x < -4 | :(-2)

x > 2

С учетом ОДЗ запишем ответ.

Ответ: х ∈ (3; +∞)

В) [tex]\bold {log_{\frac{1}{3} } (x^{2} - 2x) \geq -1}[/tex]

ОДЗ: x² - 2x > 0

x(x - 2) > 0

x ∈ (-∞; 0) U (2; +∞)

[tex]-1 = log_{\frac{1}{3} } 3[/tex], тогда:

[tex]\bold {log_{\frac{1}{3} } (x^{2} - 2x) \geq log_{\frac{1}{3}} 3 }[/tex]

Основания логарифмов меньше единицы и больше нуля, поэтому меняем знак неравенства на противоположный.

х² - 2х ≥ 3

х² - 2х - 3 ≥ 0

Находим нули функции:

х² - 2х - 3 = 0

D = 4 - 4 * (-3) = 16

[tex]x_{1} = \frac{2 - 4}{2} = -1[/tex]

[tex]x_{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3[/tex]

(х + 1)(х - 3) ≥ 0

               +                                    -                                       +

-------------------------●-----------------------------------●--------------------------------->x

                            -1                                         3

Неравенство принимает положительные значения в промежутке [-1; 3], тогда с учетом ОДЗ запишем ответ.

Ответ: х ∈ (-∞; -1] U [3; +∞)