Ответ:

Щоб знайти проміжки зростання функції f(x) = x/4 + 9/x, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції і визначити її знаки.

Похідна функції f(x) може бути обчислена за допомогою правил диференціювання:

f'(x) = (1/4) - (9/x^2)

Тепер давайте проаналізуємо знаки похідної, щоб визначити проміжки зростання функції.

1. Знайдемо значення x, для яких f'(x) = 0:

(1/4) - (9/x^2) = 0

1/4 = 9/x^2

x^2 = 9 * 4

x^2 = 36

x = ±6

Таким чином, ми маємо дві критичні точки: x = 6 та x = -6.

2. Розглянемо проміжки між цими критичними точками та за межами їх:

a) Для x < -6:

Оберніть увагу, що функція f(x) визначена для x ≠ 0. Тому в проміжку x < -6 вона також буде визначена. Перевіримо знак похідної у цьому проміжку.

Підставимо x = -7 в похідну:

f'(-7) = (1/4) - (9/(-7)^2)

= (1/4) - (9/49)

= (49 - 36) / 196

= 13 / 196

> 0

Отже, на проміжку x < -6 похідна f'(x) є додатньою, що означає, що функція f(x) зростає на цьому проміжку.

b) Для -6 < x < 6:

Знову перевіримо знак похідної у цьому проміжку, але спочатку візьмемо будь-яке значення x на цьому проміжку і підставимо його в похідну, наприклад, x = 0:

f'(0) = (1/4) - (9/0^2)

= (1/4) - (9/0)

= (1/4) - ∞

= -∞

Таким чином, на проміжку -6 < x < 6 похідна f'(x) є від'єм