5^n)*(x-5)^n n-3 ...

Ewwas @Ewwas

July 2022 1 23 Report

Помогите, пожалуйста, решить:

Исследовать ряды на сходимость. Для степенного ряда найти область сходимости:

∞

1)∑ = 1/ n*5^n

n-1

2)∞

∑ =((-1)^n)*n / 2^n* (n+1)

n-1

∞

3)∑ = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n

n-3

Answers & Comments

Guyver

Verified answer

Необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.

1) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n5^n}$

Как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. Ряд у нас положительный, применим признак Даламбера ( $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ )

$\lim_{n \to \infty} \frac{n5^n}{(n+1)5^{n+1}} = \frac{1}{5}$

т.е. ряд сходится абсолютно

2) Ряд является знакочередующимся, применим признак Лейбница (Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)

$\lim_{n \to \infty} |\frac{n}{2^n(n+1)}|=0$

- ряд сходится. Исследуем также на абсолютную и условную сходимости (Сходящийся ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе — сходящимся условно.)

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$

воспользуемся признаком сравнения

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$

ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.

3) $\sum_{n=3}^{\infty}\frac{n^2-5}{5^n}*(x-5)^n$

Воспользуемся признаком Даламбера

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 - 5}{5^{n+1}}\frac{5^n}{n^2-5}|x-5|=\frac{1}{5}|x-5|$

Наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|<1 ⇔ |x-5|<5 ⇔ -5<x-5<5 ⇔ 0<x<10

Остается исследовать сходимость на концах интервала:

a) x=0

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-5)^n(n^2-5)}{5^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n^2-5)$

ряд расходится

б) x=10

$\sum_{n=3}^{\infty}\frac{5^n(n^2-5)}{5^n}=\sum_{n=3}^{\infty}(n^2-5)$

ряд расходится

Т.е. область сходимости ряда (0, 10)

3 votes Thanks 4

Answers & Comments

Verified answer

pomogite pozhalujsta complete with has have hasnt havent they got a

pomogite pozhalujsta napisat 5 6 predlozhenij dlya 2 go klassa moe lyubimoe vrem

tex]...

pomogite pozhalujsta sdelat 2 spisat podcherknut glavnye chleny vypisat po

pomogite pozhalujsta sdelat vypisat predlozheniya razobrat po chlenam oprede

pomogite pozhalujsta otvetit na voprosy testa 1 vyberite pravilnyj variant

pomogite pozhalujsta otvetit na testy 21 vyberite variant die veranderu

pomogite reshit pozhalujsta opredelite uravnenie pryamoj otsekayushej na osi ou o

xln2xa44ed8dd7399809d86762b5220c29e78 46345

pomogite pozhalujsta write the plurals 1 life 2 lady 3 bus 4 fox 5

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social