Щоб вирішити нерівність \((5+x)(x+1)(3-x) \leq 0\), треба спершу знайти корені рівняння \((5+x)(x+1)(3-x) = 0\), оскільки нерівність буде змінювати свій знак навколо цих коренів.
Отже, ми маємо три корені: \(x = -5\), \(x = -1\) і \(x = 3\).
2. Тепер розглянемо інтервали між цими коренями:
a) Інтервал \((-∞, -5)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = -6\), і перевіримо знак виразу \((5+x)(x+1)(3-x)\) в цій області: \((5-6)(-6+1)(3+6) = (-1)(-5)(9) = 45\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(> 0\).
b) Інтервал \((-5, -1)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = -2\), і перевіримо знак виразу: \((5-2)(-2+1)(3+2) = (3)(-1)(5) = -15\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(< 0\).
c) Інтервал \((-1, 3)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = 0\), і перевіримо знак виразу: \((5+0)(0+1)(3-0) = (5)(1)(3) = 15\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(> 0\).
d) Інтервал \((3, +∞)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = 4\), і перевіримо знак виразу: \((5+4)(4+1)(3-4) = (9)(5)(-1) = -45\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(< 0\).
3. Тепер зіберемо всі інтервали разом:
- Нерівність \((5+x)(x+1)(3-x) \leq 0\) виконується на інтервалах \((-5, -1)\) і \((3, +∞)\).
Отже, розв'язком нерівності є \(-5 \leq x \leq -1\) і \(x > 3\).
Answers & Comments
Verified answer
Щоб вирішити нерівність \((5+x)(x+1)(3-x) \leq 0\), треба спершу знайти корені рівняння \((5+x)(x+1)(3-x) = 0\), оскільки нерівність буде змінювати свій знак навколо цих коренів.1. Знайдемо корені рівняння \((5+x)(x+1)(3-x) = 0\):
- \((5+x) = 0\) => \(x = -5\)
- \((x+1) = 0\) => \(x = -1\)
- \((3-x) = 0\) => \(x = 3\)
Отже, ми маємо три корені: \(x = -5\), \(x = -1\) і \(x = 3\).
2. Тепер розглянемо інтервали між цими коренями:
a) Інтервал \((-∞, -5)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = -6\), і перевіримо знак виразу \((5+x)(x+1)(3-x)\) в цій області:
\((5-6)(-6+1)(3+6) = (-1)(-5)(9) = 45\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(> 0\).
b) Інтервал \((-5, -1)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = -2\), і перевіримо знак виразу:
\((5-2)(-2+1)(3+2) = (3)(-1)(5) = -15\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(< 0\).
c) Інтервал \((-1, 3)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = 0\), і перевіримо знак виразу:
\((5+0)(0+1)(3-0) = (5)(1)(3) = 15\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(> 0\).
d) Інтервал \((3, +∞)\): Виберемо точку, наприклад, \(x = 4\), і перевіримо знак виразу:
\((5+4)(4+1)(3-4) = (9)(5)(-1) = -45\), отже, в даному інтервалі нерівність має значення \(< 0\).
3. Тепер зіберемо всі інтервали разом:
- Нерівність \((5+x)(x+1)(3-x) \leq 0\) виконується на інтервалах \((-5, -1)\) і \((3, +∞)\).
Отже, розв'язком нерівності є \(-5 \leq x \leq -1\) і \(x > 3\).