Составьте уравнение эллипса если его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равен 13.

Если эллипс определен уравнением (x²/a²) + (y²/b²) = 1  и  , то    прямые x = -a/e,  x = a/e  называются директрисами эллипса.

Расстояние от центра до директрисы – это половина заданной величины 13.

То есть х = 13/2.

Прямые x = +-(13/2) служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 2b = 6..

Малая полуось эллипса b = 6/2 = 3. . Чтобы составить уравнение эллипса нужно знать большую полуось. Имеем: x = a/e,   e = c/a. Следовательно, x = a²/c . Так как x = (13/2) , то    a² = (13/2)c. Учитывая, что c² = a² - 3² , получим, что величина c  удовлетворяет уравнению

c² - (13/2)c + 9 = 0  или с целыми коэффициентами 2c² - 13c + 18 = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-13)^2-4*2*18=169-4*2*18=169-8*18=169-144=25;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

c_1=(√25-(-13))/(2*2)=(5-(-13))/(2*2)=(5+13)/(2*2)=18/(2*2)=18/4=4.5;

c_2=(-√25-(-13))/(2*2)=(-5-(-13))/(2*2)=(-5+13)/(2*2)=8/(2*2)=8/4=2.

Получили 2 значения фокусного расстояния.

Значит, имеем 2 величины большей полуоси.

а²(1) = (13/2)*4,5 = (13/2)*(9/2)) = (117/4).

а²(2) = (13/2)*2 = 13.

Отсюда получаем 2 ответа:

(x²/(117/4)) + (y²/9) = 1

(x²/13) + (y²/9) = 1