Ответ:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 9√39 см².

Объяснение:

Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: КАВС - правильная треугольная пирамида;

∠КАО = 60°;

R = 2√3 см - радиус описанной окружности.

Найти: Sбок.

Решение:

• В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают.

⇒ О - центр описанной окружности.

Площадь боковой поверхности пирамиды:

[tex]\displaystyle \boxed {Sbok.=\frac{1}{2}Posn.\cdot{d} }[/tex] , где Росн. - периметр основания; d - апофема.

Найдем апофему КЕ:

1. Рассмотрим ΔАКО - прямоугольный.

∠КАО = 60°

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АКО = 90° - 60° = 30°.

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ АК = 2 АО = 4√3 (см)

По теореме Пифагора найдем КО:

КО² = АК² - АО² = 48 - 12 = 36

КО = √36 = 6 (см)

2. Рассмотрим ΔАВС - равносторонний.

• Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

АО = 2√3 ⇒ ОЕ = √3 (см)

3. Рассмотрим ΔОКЕ - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем апофему КЕ.

КЕ² = ОЕ² + ОК² = 3 + 36 = 39

КЕ = √39 (см)

Теперь найдем периметр основания.

4. Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника равен:

[tex]\displaystyle \boxed {R=\frac{a}{\sqrt{3} } }[/tex] , где а - сторона треугольника.

⇒ АВ = R · √3 = 2√3 · √3 = 6 (см)

Росн. = 6 · 3 = 18 (см)

5. Найдем Sбок.:

[tex]\displaystyle Sbok. = \frac{1}{2 }\cdot18\cdot\sqrt{39} =9\sqrt{39 }\;_{(CM^2)}[/tex]

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 9√39 см².