Позначимо довжини катетів прямокутного трикутника через a та b, а довжину протилежної кута гіпотенузи (тобто протилежної куту 60 градусів) через c.

Оскільки бісектриса кута дорівнює 8 см, то відповідна точка ділить протилежну сторону трикутника на дві відрізки, довжини яких дорівнюють a/2 та b/2. Таким чином, за властивостями бісектриси кута, маємо:

a/b = c/(b/2)

або

c = (a/2) * 2c/b

Оскільки кут прямокутного трикутника дорівнює 60 градусам, то за теоремою Піфагора маємо:

c^2 = a^2 + b^2

Також за відомим співвідношенням між бісектрисою кута та відповідною стороною трикутника маємо:

a = 2 * 8см = 16см

Тепер можемо обчислити довжину протилежного кута:

c = (a/2) * 2c/b = 8см * 2c/b = 16c/b

Щоб знайти b, можна використати співвідношення Піфагора:

c^2 = a^2 + b^2

(16c/b)^2 = 16^2 + b^2

256c^2/b^2 = 256 + b^2

b^2 = 256c^2/(b^2 - 256)

Таким чином,

b = sqrt(256c^2/(b^2 - 256))

Це не легке рівняння для розв'язання аналітично, але можна скористатися числовими методами для його обчислення. Наприклад, якщо c = 8см, то отримуємо:

b = sqrt(256*8^2/(b^2 - 256)) = 15.491 см (заокруглено до тисячних)

Отже, довжина катету, який лежить проти гострого кута 60 градусів, дорівнює близько 15.491 см