60 баллов!!!!!
Сумма третьего и восьмого членов арифметической прогресси равна 41, а произведение четвертого и седьмого членов равно 400. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.
P.S. Задача с несколькими правильными ответами.
P.S.S. Первый ответ я нашел, получилось 87. Как найти второй ответ равный 159?
Сумма третьего и восьмого членов арифметической прогресси равна 41, а произведение четвертого и седьмого членов равно 400. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.
P.S. Задача с несколькими правильными ответами.
P.S.S. Первый ответ я нашел, получилось 87. Как найти второй ответ равный 159?
Answers & Comments
Verified answer
А₃ + а₈ = 41, а₄а₇ = 400аn = a₁ + d(n - 1).- формула n-го члена
а₃ = а₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d, a₇ = a₁ + 6d, a₈ = a₁ + 7d.
Теперь а₃ + а₈ = а₁ + 2d + a₁ + 7d = 2а₁ + 9d,
а₄а₇ = (a₁ + 3d)(a₁ + 6d) = a₁² + 9da₁ + 18d².
Получим систему уравнений:
2а₁ + 9d = 41, d = (41 - 2a₁)/9, (1)
a₁² + 9da₁ + 18d² = 400; a₁² + 9a₁(41 - 2a₁)/9 + 18((41 - 2a₁)/9)² = 400; (2)
Решим (2): a₁² + a₁(41 - 2a₁) + 18(1681 - 164a₁ + 4a₁²)/81 = 400,
a₁² + 41a₁ - 2a₁² + 2(1681 - 164a₁ + 4a₁²)/9 = 400,
-a₁² + 41a₁ + 2(1681 - 164a₁ + 4a₁²)/9 = 400,
-9a₁² + 369a₁ + 3362 - 328a₁ + 8a₁² = 3600,
-a₁² + 41a₁ + 3362 - 3600 = 0,
-a₁² + 41a₁ - 238 = 0,
a₁² - 41a₁ + 238 = 0.
a₁ = y
y² - 41y + 238 = 0
D = (-41)² - 4 · 1 · 238 = 1681 - 952 = 729; √729 = 27
y₁ = (41 + 27)/2 = 34; y₂ = (41 - 27)/2 = 7
Значит, а₁ = 7 или а₁ = 34,
тогда d = (41 - 2 · 7)/9 = 3 или d = (41 - 2 · 34)/9 = -3
S₆ = (2a₁ + d(6 - 1))/2 · 6 = 3(2a₁ + 5d)
Если а₁ = 7 и d = 3, то S₆ = 3(2 · 7 + 3 · 5) = 3 · 29 = 87
Если а₁ = 34 и d = -3, то S₆ = 3(2 · 34 - 3 · 5) = 3 · 53 = 159