Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 16 см, а радиус вписанной окружности равен 7 см. Найдите площадь четырехугольника.
Многоугольник можно разделить на треугольники, сумма площадей которых составит сумму многоугольника. Пусть данный четырехугольник АВСД, а О - центр вписанной в него окружности.
Тогда площадь АВСД=
S ∆ ВОС + S ∆ СОД+ S ∆АОД+ S ∆ АОВ
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой она проведена:
S АВСД= ВС•OH:2+СД•OP:2+АД•OT:2+ АВ•ОМ:2.
Но высота всех этих треугольников - радиус вписанной окружности.
S АВСД=r•P:2
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Следовательно, периметр АВСД=16•2=32
S АВСД=7•32:2=112 см²
* * *
Окружность с центром в точке О радиуса R описана около треугольника АВС. Найдите R, если АС=12 см, а угол САО равен 60°.
Рассмотрим ∆ АОС. Его боковые стороны - радиусы, угол при АС-60°, следовательно, ∠АСО=60°, и угол АОС=60°.
∆ АОС - равносторонний, и радиус описанной окружности равен АС.
Answers & Comments
Verified answer
Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 16 см, а радиус вписанной окружности равен 7 см. Найдите площадь четырехугольника.Многоугольник можно разделить на треугольники, сумма площадей которых составит сумму многоугольника. Пусть данный четырехугольник АВСД, а О - центр вписанной в него окружности.
Тогда площадь АВСД=
S ∆ ВОС + S ∆ СОД+ S ∆АОД+ S ∆ АОВ
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой она проведена:
S АВСД= ВС•OH:2+СД•OP:2+АД•OT:2+ АВ•ОМ:2.
Но высота всех этих треугольников - радиус вписанной окружности.
S АВСД=r•P:2
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Следовательно, периметр АВСД=16•2=32
S АВСД=7•32:2=112 см²
* * *
Окружность с центром в точке О радиуса R описана около треугольника АВС. Найдите R, если АС=12 см, а угол САО равен 60°.
Рассмотрим ∆ АОС. Его боковые стороны - радиусы, угол при АС-60°, следовательно, ∠АСО=60°, и угол АОС=60°.
∆ АОС - равносторонний, и радиус описанной окружности равен АС.
R=12 см.