Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

[tex]a_n=a_1+d(n-1)[/tex]

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

[tex]S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n[/tex]

Рассмотрим известные условия:

[tex]a_5=16;\ a_{12}=58[/tex]

Распишем их:

[tex]\begin{cases} a_1+4d=16 \\ a_1+11d=58 \end{cases}[/tex]

От второго уравнения отнимем первое:

[tex](a_1+11d)-(a_1+4d)=58-16[/tex]

Тогда, получим уравнение относительно разности прогрессии:

[tex]7d=42[/tex]

[tex]d=6[/tex]

Из первого уравнения выразим первый член:

[tex]a_1=16-4d[/tex]

[tex]a_1=16-4\cdot6=16-24=-8[/tex]

Подставим найденные параметры в формулу суммы первых 24 членов:

[tex]S_{24}=\dfrac{2a_1+23d}{2}\cdot 24[/tex]

[tex]S_{24}=\dfrac{2\cdot(-8)+23\cdot6}{2}\cdot 24=(-16+138)\cdot 12=122\cdot12=1464[/tex]

Ответ: 1464