Решение.

  [tex]\bf x^2-(a+4)\cdot x-3=0[/tex]  

Уравнение должно иметь два корня, причём  [tex]\bf x_1-x_2=4[/tex]  .

По теореме Виета:  [tex]\left\{\begin{array}{l}\bf x_1+x_2=a+4\\\bf x_1\cdot x_2=-3\end{array}\right[/tex]  .

Решим систему

[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf x_1+x_2=a+4\\\bf x_1-x_2=-4\end{array}\right\ \oplus \ominus \ \left\{\begin{array}{l}\bf 2x_1=a\\\bf 2x_2=a+8\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf \ x_1=\dfrac{a}{2}\\\bf x_2=\dfrac{a}{2}+4\end{array}\right[/tex]  

Найдём произведение корней и приравняем его к  -3 .  

[tex]\bf x_1\cdot x_2=\dfrac{a}{2}\cdot (\dfrac{a}{2}+4)=\dfrac{a^2}{4}+2a=-3\ \ \Rightarrow \ \ \ a^2+8a+12=0\ \ ,\\\\(a+4)-16+12=0\ \ ,\ \ \ (a+4)^2-4=0\ \ ,\ \ \ (a+4-2)(a+4+2)=0\ ,\\\\(a+2)(a+6)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \underline{a_1=-2\ ,\ a_2=-6}[/tex]  

Уравнение имеет два корня при  [tex]\bf a_1=-2[/tex]  или при   [tex]\bf a_1=-6[/tex]  .