Ответ:

30°

Объяснение:

Смотрите рисунок.

Центр окружности, вписанной в треугольник - это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

То есть OA, OB, OC - биссектрисы углов A, B, C.

∠ABC = 64°; ∠BOC = 105°; ∠OBC = ∠OBA = 64°/2 = 32°.

∠OCB = 180° - ∠BOC - ∠OBC = 180° - 105° - 32° = 43°

∠OCA = ∠OCB = 43°

∠BAC = a°; ∠OAC = ∠OAB = (a/2)°.

В треугольнике AOC:

∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = ∠AOC + (a/2)° + 43° = 180°   (1)

В треугольнике AOB:

∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = ∠AOB + (a/2)° + 32° = 180°   (2)

Вокруг точки O:

∠AOB + ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOC + 105° = 360°   (3)

Получили 3 уравнения с 3 неизвестными, составляем систему:

{ ∠AOC + a/2 + 43 = 180

{ ∠AOB + a/2 + 32 = 180

{ ∠AOB + ∠AOC + 105 = 360

Приводим подобные:

{ ∠AOC + a/2 = 137

{ ∠AOB + a/2 = 148

{ ∠AOB + ∠AOC = 255

Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение:

{ ∠AOB - ∠AOC = 11

{ ∠AOB + ∠AOC = 255

Складываем уравнения:

2*∠AOB = 266

∠AOB = 266/2 = 133°

∠AOC = 255 - ∠AOB = 255 - 133 = 122°

a/2 = 148 - ∠AOB = 148 - 133 = 15°

∠A = a = 2*(a/2) = 2*15 = 30°

Центр вписанной окружности O - точка пересечения биссектрис.

△BOC: ∠BOC +∠B/2 +∠C/2 =180°

△ABC: ∠A/2 +∠B/2 +∠C/2 =90°

Вычитаем

∠BOC -∠A/2 =90° => ∠A =(105°-90°)*2 =30°