Verified answer

Ответ:

Объяснение:

I. Наиболее краткий  вариант решения (1-6 класс)

                                                                    "Краткость  - сестра таланта"

Наибольшая площадь прямоугольника заданного периметра будет если прямоугольник является квадратом , это общеизвестный факт, можно его принять на веру и продолжить,  либо проверить экспериментально, но если требуется обоснование то см. второй и третий варианты решения.

Пусть а - сторона квадрата

по формуле периметра квадрата Р=4a=64

a=64/4=16

так как у квадрата длина равна ширине то ширина также будет равна 16

Ответ Длина равна 16 и ширина равна 16

II.  Вариант решения  с помощью выделения полного квадрата (8-9 класс)

(не очень краткий)

                                                             "Тише едешь - дальше будешь"

Пусть х - длина , у- ширина прямоугольника

тогда по формуле периметра прямоугольника

P=2(x+y)=64

у=64:2-х=32-х

Площадь равна S=xy=x(32-x)=32x-x²

S=-x²+32x=-x²+2*16x-16²+16²=16²-(x-16)²

очевидно что максимальное значение этого выражения (площади) будет при х=16

тогда у=32-х=16

Ответ Длина 16  и ширина 16

III Вариант решения с помощью  производной (10 класс и далее)

этот вариант тоже не очень краткий и требует знания высшей математики в частности Начал Анализа

                                              "Чем дальше в лес тем больше дров..."

Начало так же, как в пункте II до того момента как получим формулу площади

Пусть х - длина , у- ширина прямоугольника

тогда тогда по формуле периметра прямоугольника

P=2(x+y)=64

у=64:2-х=32-х

Площадь равна S=xy=x(32-x)=32x-x²

S=32x-x²

С этого момента  не так как в пункте II

Найдем производную площади

S'=32-2x=0

x=32/2=16

при х<16 S'>0

при х>16 S'<0

в точке х=16 производная меняет знак с плюса на минус ⇒ в точке х=16 максимум S

х=16 тогда у=32-х=16

Ответ Длина 16  и ширина 16