1/Ιx-2Ι-1/Ιx+3Ι≥-1/6. Created by jaytay. algebra-ru

6...

jaytay @jaytay

August 2021 1 7 Report

1/Ιx-2Ι-1/Ιx+3Ι≥-1/6

Answers & Comments

nafanya2014

Verified answer

$\frac{1}{|x-2|} - \frac{1}{x+3|} \geq - \frac{1}{6}$

Раскрываем знак модуля на интервалах.
Подмодульные выражения меняют знаки в точках х=-3 и х=2. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
1) (-∞;-3] | x-2| = -x+2, | x+3|= -x-3
    Решаем неравенство:
$\frac{1}{-x+2}- \frac{1}{-x-3} \geq - \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{1}{2-x} + \frac{1}{x+3} + \frac{1}{6} \geq 0\Rightarrow \\ \frac{6(x+3)+6(2-x)+(2-x)(x+3)}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{6x+18+12 -6x+2x- x^{2} +6-3x}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{- x^{2} -x+36}{6(2-x)(x+3)} \geq 0$

-x²-x+36=0
x²+x-36=0
D=1-4·(-36)=145
x=(-1-√145)/2   или х=(-1+√145)/2

Отмечаем нули числителя и знаменателя на (-∞;-3)
   +     -
----------------[-1-√145)/2]------------(-3)
считаем значение дроби (-x² -x+36)/6(2-x)(x+3) в точке (-4) получаем (-16+4+36)/6·6·(-1) <0 , ставим знак " минус" над промежутком ((-1-√145)/2;-3), значит на промежутке слева ставим знак "плюс"
Ответ.(-∞; (-1-√145)/2]
2) (-3;2] | x-2| = -x+2, | x+3|= x+3
    Решаем неравенство:
$
 \frac{1}{-x+2}- \frac{1}{x+3} \geq - \frac{1}{6} \Rightarrow 
\frac{1}{2-x} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{6} \geq 0\Rightarrow \\ 
\frac{6(x+3)-6(2-x)+(2-x)(x+3)}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{6x+18-12 +6x+2x- x^{2} +6-3x}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{- x^{2} +11x+12}{6(2-x)(x+3)} \geq 0$

-x²+11x+12=0
x²-11x-12=0
D=121-4·(-12)=169
x=(11-13)/2=-1 или х=(11+13)/2=12

Отмечаем нули числителя и знаменателя на (-3;2) x=2 не включаем, так как х в знаменателе:
   -     +
(-3)----------------[-1]---------------------(2)
считаем значение дроби (-x² +11x+12)/6(2-x)(x+3) в точке (0) получаем (12)/6·2·3 >0 , ставим знак "плюс" над промежутком [-1;2), значит на промежутке слева ставим знак "минус"
Ответ.[1; 2)
3) (2;+∞) | x-2| = x-2, | x+3|= x+3
    Решаем неравенство:
$
 \frac{1}{x-2}- \frac{1}{x+3} \geq - \frac{1}{6} \Rightarrow 
\frac{1}{x-2}- \frac{1}{x+3} + \frac{1}{6} \geq 0\Rightarrow \\ 
\frac{6(x+3)-6(x-2)+(x-2)(x+3)}{6(x-2)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{6x+18 
-6x+12+x^{2} -2х-6+3x}{6(x-2)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{ x^{2} +x+24}{6(x-2)(x+3)} \geq 0$

x²+x+24=0

D=1-4·24=1-96<0
x²+x+24>0
Считаем знак знаменателя на (2;+∞), знаменатель на указанном промежутке положителен, так как парабола (х-2)(х+3) пересекает ось ох в точках х=-3 и х=2 и ветви направлены вверх

   +
(2)--------------------------

(2;+∞)
Ответ. (-∞; (-1-√145)/2]U[1;2) U [ (2;+∞)

0 votes Thanks 0

2]...

Answer

Answers & Comments

Verified answer

2]...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social