Verified answer

Ответ:       6.75 кв. ед.

Объяснение:

Строим график функции  у=х³-6х²+9х+1.

и касательную к ней в точке х=3​.  (См. скриншот)

Площадь криволинейной трапеции определяем по формуле Ньютона-Лейбница

s=∫ₐᵇf(x)dx = F(x)|ₐᵇ=F(b) - F(a).

Пределы интегрирования a=0; b=3.  

S=s(AmB) - s(AnB) = ∫₀³(х³-6х²+9х+1)dx - ∫₀³(1)dx = 9.75 - 3 = 6.75 кв. ед.

1)   ∫₀³(х³-6х²+9х+1)dx =   ∫₀³(x³)dx - 6∫₀³(x²)dx + 9∫₀³(x)dx + ∫₀³1*dx =

= 1/4(x⁴)|₀³ - 6/3(x³)|₀³+9/2(x²)|₀³+(x)|₀³ =

= 1/4(3⁴-0⁴) - 2(3³-0³) +9/2(3²-0²)+(3-0) = 81/4-2*27+81/2+3=

= 20.25 - 54 + 40.5 + 3 = 9.75 кв. ед.

2)  ∫₀³(1)dx =(x)|₀³ = (3-0) = 3 кв. ед.