Доказать тригонометрическое тождество:

[tex]\dfrac{\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2-1}{tg\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}=2ctg^2\alpha[/tex]

Используем следующие тождества:

[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]

[tex]tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]

[tex]ctg\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex]

Преобразуем левую часть тождества:

[tex]\dfrac{\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2-1}{tg\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}=[/tex]

[tex]=\dfrac{\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\sin\alpha\cos\alpha}=[/tex]

[tex]=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha+1-1}{\sin\alpha\left(\dfrac{1}{\cos\alpha}-\cos\alpha}\right)}=[/tex]

[tex]=\dfrac{2\cos\alpha}{\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\cos\alpha}}=\dfrac{2\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=[/tex]

[tex]=\dfrac{2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=2ctg^2\alpha[/tex]

Тождество доказано.