Ответ:

[tex]x\in \left(-\dfrac{\pi }{36}+\dfrac{\pi n}{6};\; \dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi n}{6}\right)\; \: \; \: n\in Z[/tex]

Объяснение:

Решить тригонометрическое неравенство:

[tex]ctg\left(6x+\dfrac{\pi }{6}\right) > -\sqrt{3}[/tex]

Начертим линию котангенсов и отметим на ней точку - √3.

Знак неравенства "больше", поэтому выделим на линии котангенсов интервал справа от точки.

Этому интервалу на окружности соответствует дуга, выделенная красным цветом.

Начальная точка этой дуги соответствует углу 0 радиан, конечная точка соответствует углу:

[tex]arcctg(-\sqrt{3})=\pi -arcctg\sqrt{3}=\pi -\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{5\pi }{6}[/tex]

Итак, учитывая, что наименьший положительный период котангенса равен π, получаем:

[tex]\pi n < 6x+\dfrac{\pi }{6} < \dfrac{5\pi }{6}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z[/tex]

[tex]-\dfrac{\pi }{6}+\pi n < 6x < \dfrac{5\pi }{6}-\dfrac{\pi }{6}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z[/tex]

[tex]-\dfrac{\pi }{6}+\pi n < 6x < \dfrac{2\pi }{3}+\pi n,\; \: \; \: n\in Z[/tex]

[tex]-\dfrac{\pi }{36}+\dfrac{\pi n}{6} < x < \dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi n}{6},\; \: \; \: n\in Z[/tex]

[tex]x\in \left(-\dfrac{\pi }{36}+\dfrac{\pi n}{6};\; \dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi n}{6}\right)\; \: \; \: n\in Z[/tex]