Основное тригонометрическое тождество:

[tex]\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1[/tex]

Рассмотрим уравнение:

[tex]6\sin^2x-4\sin x\cos x=1[/tex]

[tex]6\sin^2x-4\sin x\cos x=\sin^2x+\cos^2x[/tex]

[tex]6\sin^2x-4\sin x\cos x-\sin^2x-\cos^2x=0[/tex]

[tex]5\sin^2x-4\sin x\cos x-\cos^2x=0[/tex]

Разделим обе части уравнения на [tex]\cos^2x\neq 0[/tex]:

[tex]5\,\mathrm{tg}^2x-4\,\mathrm{tg}x-1=0[/tex]

Получилось квадратное уравнение относительно тангенса. Так как сумма его коэффициентов равна 0, то первый корень уравнения равен 1, а второй корень - равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

[tex]\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

[tex]\mathrm{tg}x=-\dfrac{1}{5} \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\left(-\dfrac{1}{5}\right) +\pi n=-\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{5}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Выполним отбор корней на числовой окружности (картинка).

Наибольший отрицательный корень:

[tex]x=-\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{5}[/tex]

Ответ: -arctg(1/5)