7. Знайти кут АСВ, якщо А( -1; -2; -8), В( 0; -4; -6), С( 10; 0; 2).

Вектор СA = (-1-10: -2-0; -8-2) = (-11; -2; -10).

Модуль равен √(121 + 4 + 100) =  √225 = 15.

Вектор СB = (0-10: -4-0; -6-2) = (-10; -4; -8).

Модуль равен √(100 + 16 + 64) =  √180 = 6√5.

cos(CA_CB) = (-11*(-10) + (-2)*(-4) + (-10)*(-8)/( 15*6√5) =

(110 + 8 + 80)/(90√5) = 198/(90√5) ≈ 198/201,246118 ≈ 0,98386991.

Угол АСВ равен arccos 0,98386991 ≈ 0,1798535 радиан или 10,30484647 градуса.

8. Знайти рівняння медіани АD трикутника АВС.

А( 3; 6), В( 15; -3), С( 13; 11).

Находим координаты точки D как середині стороні ВС.

D = (В( 15; -3) + С( 13; 11))/2 = (14; 4).

Уравнение АD: (x – 3)/14 = (y – 6)/4 каноническое.

4x – 12 = 14y – 84,

4x – 14y + 72 = 0 или 2х – 7у + 36 = 0 общее,

у = (2/7)х + (36/7) с угловым коэффициентом.

9. Знайти рівняння площини АВС, якщо

А( -1; -2; -8), В( 0; -4; -6), С(10;0; 2).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA              y - yA           z - zA

xB - xA        yB - yA            zB - zA

xC - xA        yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-1)      y - (-2)          z - (-8)

0 - (-1)      -4 - (-2)          -6 - (-8)

10 - (-1)      0 - (-2)           2 - (-8) = 0

x - (-1)       y - (-2)            z - (-8)

1                 -2                       2

11                2                      10 = 0

(x - (-1))(-2·10-2·2) – ( - (-2))(·10-2·11) +(z - (-8))(1·2-(-2)·11) = 0

(-24(x - (-1)) + 12(y - (-2)) + 24(z - (-8) = 0

- 24x + 12y + 24z + 192 = 0

2x - y - 2z - 16 = 0.