Решение .

ΔABC ,  ∠С=90°  ,  СН ⊥ АВ ,  обозначим CH = h  ,  АН = НВ +7  ,    

ВС : АС = 3 : 4   ⇒   BC = 3m  ,  AC = 4m  .

Найти :  r  - радиус вписанной окружности .

Формула для нахождения радиуса вписанной окружности по сторонам  прямоугольного треугольника :  r = (a+b-c)/2 .

Значит ,  r = (AC+BC-AB)/2  .  Найдём стороны ΔАВС .

Обозначим  х = НВ  ,  тогда  АН = х+7  .

Запишем тройку подобных треугольников :

ΔАВС ~ ΔACH ~ ΔCBH  по двум углам , так как   ∠САН= ∠ВСН  ,  

∠СВН = ∠АСН  ,  ∠СНВ = ∠СНА = ∠АСВ = 90°  , так как

∠САН + ∠СВН = 90° ,  ∠САН+∠АСН = 90°  ,   ∠СВН + ∠ВСН = 90°  .

Из подобия треугольников следует пропорция :

[tex]\bf \dfrac{x}{h}=\dfrac{h}{x+7}=\dfrac{3m}{4m}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x}{h}=\dfrac{h}{x+7}=\dfrac{3}{4}\ \ ,\\\\\\3(x+7)=4h\ \ ,\ \ 4x=3h\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf 3x+21=4h\\\bf 4x=3h\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 3x+21=4h\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 3x+21=4\cdot \dfrac{4x}{3}\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 3x-\dfrac{16x}{3}=-21\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf \dfrac{-7x}{3}=-21\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x=\dfrac{-21\cdot 3}{-7}\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x=9\\\bf h=12\end{array}\right\ \[/tex]                    

Гипотенуза  АВ = АН + НС = х + (х+7)=9+(9+7) = 25

Из  ΔСВН по теореме Пифагора :  

ВC² = BH² + CH² = x²+h² = 9² + 12² = 225  ,    BC = 15

Из  ΔСAН по теореме Пифагора :

AC² = AH² + CH² = (x+7)²+h² = (9+7)² + 12² = 400  ,    CB = 20

Найдём радиус вписанной окружности :

r = ( 15 + 20 - 25 )/2 =10/2 = 5

Ответ:  r = 5 .