Ответ:

Нехай ABCD - ромб. Нехай AC - діагональ, яка утворює кут α зі стороною AB, і BD - діагональ, яка утворює кут β зі стороною AB. Оскільки сторона AB ромба є спільною для обох кутів, то вони співпадають. Нехай α > β.

За умовою задачі відношення довжин діагоналей AC і BD дорівнює 2:3:

AC:BD = 2:3

Об'єднаємо цей факт з тим, що діагоналі ромба є перпендикулярними бісектрисами кутів ромба. Отже, утворені діагоналями кути α і β є бісектрисами кутів ADC і ABC відповідно.

Створимо прямокутний трикутник ADC з гіпотенузою AC. Тоді ми знаємо, що бісектриса кута ADC ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох інших сторін, що його утворюють:

AB:CD = AD:DC

За властивостями ромба, AB = CD. Тому:

AB:AB = AD:DC

1 = AD:DC

AD = DC

Отже, трикутник ABC є ізоскелесним, а кути, які утворюються діагоналями, однакові.

Нехай цей кут дорівнює γ. Тоді розглянемо трикутник ADB, у якому кути ADB і BAD також дорівнюють γ. За теоремою про внутрішні кути трикутника:

ADB + BAD + 90° = 180°

2γ + 90° = 180°

2γ = 90°

γ = 45°

Отже, кути ромба дорівнюють 45°.