1. Две стороны треугольника равны 14 и 8 см, а косинус угла между ними равен 6/7. Найдите площадь этого треугольника.
2.Даны точки А(0;0),B (2;2),C (5;-1).Найдите скалярное произведение вектора АС и СВ. Докажите, что треугольник АВС -прямоугольный.
2.Даны точки А(0;0),B (2;2),C (5;-1).Найдите скалярное произведение вектора АС и СВ. Докажите, что треугольник АВС -прямоугольный.
Answers & Comments
Verified answer
1) Решение имеет 2 варианта:а) через синус известного угла найти высоту H треугольника,
тогда S = (1/2)*Н*в.
б) по теореме косинусов найти третью сторону треугольника, а площадь определить по формуле Герона.
а) sin C = √(1-cos²C) = √(1-(6/7)²) = √(1-(36/49) = √(13/49) = √13/7
H = 14*√13/7 = 2√13
S = (1/2)*(2√13)*8 = 8√13 = 28.84441.
б) с = √(а²+в²-2*а*в*cos C) = √(14²+8²-2*14*8*(6/7)) = √(196 +64-192) =√ 68 =
= 8.246211. p = (14+8+8.246211)/2 = 15.12311
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 28.84441.
2) АС = (5-0=5; -1-0=-1) АС(5; -1)
СВ = (2-5=-3; 2-(-1)=3) СВ(-3; 3)
Скалярное произведение АС*СВ = Х1*Х2+У1*У2 = 5*(-3)+(-1)*3 = -15-3 = -18.
cos B = |(XBA*XBC+YBA*YBC)/(|AB|*|BC|)| = |(-2*3+-2*-3)/(2.8284*4.2426)| =
= 0/12 = 0. В = arc cos 0 = 90 градусов - треугольник прямоугольный.