Verified answer

Ответ:

1.     [tex]\displaystyle \int\limits^3_1 {\left(\frac{1}{2^x}-\frac{2}{\sqrt{x} }+\frac{1}{1+x^2}\right) } \, dx =\frac{3}{8ln2}-4\sqrt{3}+arctg3+4-\frac{\pi }{4}[/tex]

2.    [tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {xlnx} \, dx=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}[/tex]

Пошаговое объяснение:

1. Найти определенный интеграл методом непосредственного интегрирования. Задача

2. Найти определенный интеграл методом интегрирования по частям.

1. Используем формулы:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits {a^x} \, dx =\frac{a^x}{lna} +C\\\\\int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\\ \\\int\limits {\frac{1}{a^2+x^2} } \, dx =\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C[/tex]

Также нам понадобится формула Ньютона-Лейбница:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)[/tex]

Вычислим интеграл:

  [tex]\displaystyle \int\limits^3_1 {\left(\frac{1}{2^x}-\frac{2}{\sqrt{x} }+\frac{1}{1+x^2}\right) } \, dx =\\\\=\int\limits^3_1 {\left(2^{-x}-2x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{1+x^2} \right)} \, dx =\\\\=\left(- \frac{2^{-x}}{ln2} -2\cdot \frac{x^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2} }+arctgx\right)\bigg|^3_1=\\ \\ =\left(- \frac{1}{ln2\cdot 2^x} -4\sqrt{x} +arctgx\right)\bigg|^3_1 =\\ \\ =-\frac{1}{ln2\cdot2^3}-4\sqrt{3}+arctg3+\frac{1}{ln2\cdot2}+4-arctg1=\\ \\[/tex]

[tex]\displaystyle =\frac{1}{ln2}\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{8}\right)-4\sqrt{3}+arctg3+4-\frac{\pi }{4} =\\\\=\frac{3}{8ln2}-4\sqrt{3}+arctg3+4-\frac{\pi }{4}[/tex]

2.

[tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {xlnx} \, dx[/tex]

Интегрирование по частям:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits {u} \, dv =uv-\int\limits {v} \, du[/tex]

Пусть:

[tex]\displaystyle lnx=u\\\\\frac{dx}{x}=du[/tex]                        [tex]\displaystyle xdx=dv\\\\\frac{x^2}{2}=v[/tex]

Найдем сначала неопределенный интеграл:

[tex]\displaystyle \int\limits {xlnx} \, dx =lnx\cdot\frac{x^2}{2}-\int\limits {\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x} } \, dx=\\ \\ =\frac{x^2lnx}{2}-\frac{1}{2} \int\limits {x} \, dx =\frac{x^2lnx}{2} -\frac{x^2}{4} +C[/tex]

Теперь вычислим значение данного интеграла:

[tex]\displaystyle \int\limits^e_1 {xlnx} \, dx=\left(\frac{x^2lnx}{2}-\frac{x^2}{4}\right)\bigg|^e_1=\\ \\ =\frac{e^2lne}{2}-\frac{e^2}{4}-\frac{ln1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2e^2}{4}-\frac{e^2}{4}-0+\frac{1}{4}=\\ \\ =\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}[/tex]