1) Диагональ прямоугольника равна 10см, периметр равен 28см.

У прямоугольника углы равны по 90 градусов.(см рис 1).

Диагональ это гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Пусть a и b стороны прямоугольника.
[tex]\sqrt{a^{2}+b^{2} } =10[/tex]

Периметр в прямоугольнике [tex]P=2(a+b)[/tex]

[tex]\left \{ {{\sqrt{a^{2}+b^{2} } =10} \atop {2(a+b)}=28} \right.[/tex]

Поднесем первое уравнение к квадрату
[tex]a^{2}+b^{2}=100[/tex]

Выразим с первого уравнения a:

a+b=14

a=14-b

Подставим a до первого уравнения:

[tex](14-b)^{2}+b^{2} =100\\196-28b+b^{2}+b^{2}=100\\ 2b^{2}-28b+96=0\\ 2(b^{2} -14b+48)=0\\ b^{2} -14b+48=0\\D=196-192=4\\b_{1}=\frac{14+2}{2}=8 \\b_{2}=\frac{14-2}{2}=6[/tex]

Подставим b до a=14-b

[tex]a_{1}=14-8=6\\\\a_{2}=14-6=8[/tex]

Стороны прямоугольника: 6см і 8см

2)Периметр прямоугольного треугольника 84см, а его гипотенуза 37см.

Формула периметра треугольника равна [tex]P=a+b+c[/tex], где a и b и c его стороны.
a+b+c=84

Гипотенуза это сума квадратов его сторон(катетов)

[tex]\left \{ {{a+b+c=84} \atop {a^{2}+b^{2}=37^{2} }} \right.\left[/tex]

Пусть гипотенуза это 37см.
a+b=47

Выразим a:

a=47-b

Подставим а во второе уравнение

[tex](47-b)^{2}+b^{2}=37^{2}\\ 2209-94b+b^{2}+b^{2}=1369\\ 2b^{2}-94b+840=0\\b^{2}-47b+420=0\\D=2209-1680=529=23^{2}\\ b_{1} =\frac{47+23}{2}=35\\ b_{2}=\frac{47-23}{2}=12[/tex]

Подставим b в a

a=47-b

[tex]a_{1}=47-35=12\\ a_{2}=47-12=35[/tex]

то есть катеты треугольника равны 12см и 35см

Формула площади ПРЯМОУГОЛЬНОГО треугольника [tex]S=\frac{ab}{2}[/tex]

Подставим наши данные в эту формулу:

[tex]S=\frac{12*35}{2}=210[/tex]см^2