Verified answer

Ответ:

V = 152√3 cм³.

Объяснение:

Объем призмы: V = So·h, где So - площадь основания, а h - ее высота.

Проведем высоту А1О призмы, которая по условию проецируется в центр основания. В прямоугольном треугольнике АА1О катет А1О лежит против угла 30°, значит h = A1O = AA1/2 = 8/2 = 4 см.

В правильном треугольнике АВС высота АН = (√3/2)·a, где а - сторона треугольника. Тогда а = 2·АН/√3.

Заметим, что центр правильного треугольника (точка О) делит высоту (медиану, биссектрису) в отношении 2:1, считая от вершины (свойство медианы). Итак,  

АО = (2/3)·AH  =>  AH = 3·AO/2 см.

В прямоугольном треугольнике АА1О катет

АО = √(АА1²-А1О²) = √(64 - 16) = 4√3 см. (Пифагор)

Тогда АН = АО·(3/2) =  (4√3)·3/2 = 6√3 см.

а = (2·6√3)/√3 = 12 см.  

So = (√3/4)·a² =  (√3/4)·12²  = 38√3 см²

V = So·h = 38√3·4 = 152√3 cм³.