Verified answer

Мероприятия, направленные на развитие массового спорта, и занятия физкультурой (п/о) мы должны организовывать сообща (нареч.).

→Организовывать (как?) сообща - обстоятельство, выраженное наречием (деепричастие утратило значение добавочного действия) не обособляется.

Она осторожно пожала мою руку и нехотя отпустила ее, повернувшись к окну (д/о).

→Отпустила (когда?), повернувшись к окну - обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом.

Вся страна затаив дыхание (ф/о) следила за ходом Олимпийских игр.

→Следила (как?) затаив дыхание - обстоятельство, выраженное фразеологическим оборотом, не обособляется.

Не работая (д/о),  сыт не будешь.

→Не будешь (при каком условии?), не работая - обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом со значением условия.

Важно (нареч.) и никуда не спеша (д/о) она прогуливалась по набережной.

→Прогуливалась (как?) важно и никуда не спеша - не обособляется деепричастный оборот, стоящий после другого обстоятельства, выраженного наречием, и соединенный с ним сочинительным союзом «и». Но возможно и обособление при смысловом акценте на  обстоятельство.

Гребцы, стоя на носу лодки (д/о), крепко держали концы веревки.

→Держали (как?), стоя на носу лодки - обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом.

Чтобы достичь больших успехов в спорте, вы должны трудиться не покладая рук (ф/о).

→Трудиться (как?) не покладая рук - обстоятельство, выраженное фразеологическим оборотом, не обособляется.